Considere os subespaços vetoriais de R^4 definidos por:
U=(x, y, z, t) in R^4 ; t=x-3 z W=[(2,0,1,1),(0,4,1,1),(-1,2,0,0)]
Encontre uma base e a dimensão de U.

Passo 1

O enunciado define o subespaço
U = (x,y,z,t)in R^4mid t = x - 3z
O objetivo é encontrar uma base de U e sua dimensão. Como há uma única equação linear relacionando as componentes, usaremos parâmetros para descrever U.

Passo 2

Escolhemos x, y e z como parâmetros livres. Então
t = x - 3z,
e um vetor genérico de U pode ser escrito como
(x,y,z,t) = (x,y,z,x-3z)

Passo 3

Reescrevendo em combinação linear de vetores fixos:
(x,y,z,x-3z) = x,(1,0,0,1) ;+; y,(0,1,0,0) ;+; z,(0,0,1,-3)
Isto mostra que
U = spanl(1,0,0,1),;(0,1,0,0),;(0,0,1,-3)r
Como os vetores acima correspondem a diferentes parâmetros e não há combinação linear não trivial que os anule, eles são linearmente independentes.

Resposta

Uma base de U é
(1,0,0,1),;(0,1,0,0),;(0,0,1,-3),
e dim U = 3.

Exercícios relacionados