Seja f(x)=x^2, x in[0,1]. Considere as sequências
sn=f(0) 1n+f(1n) 1n+f(2n) 1n+ldots+f(n-1n) 1n
e
Sn=f(1n) 1n+f(2n) 1n+ldots+f(n-1n) 1n+f(1) 1n
Calcule
6a
lim n +infty Sn

Passo 1

O enunciado define a função f(x)=x^2 em [0,1] e a sequência de somas
Sn = sumi=1^nf!l(inr),1n
que é a soma de Riemann à direita com passo 1n. Vamos calcular limntoinftySn usando a fórmula da soma de quadrados.

Passo 2

Escrevemos explicitamente
Sn = sumi=1^nl(inr)^21n = 1n^3sumi=1^ni^2

Passo 3

Sabemos que
sumi=1^ni^2 = n(n+1)(2n+1)6
Logo,
Sn = 1n^3,n(n+1)(2n+1)6 = 2n^3+3n^2+n6n^3

Passo 4

Para ntoinfty, os termos de menor ordem em n vão a zero, então
limntoinftySn = limntoinfty2n^3+3n^2+n6n^3 = 26 = 13

Resposta

13

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