Mostre que valem, na soma de vetores, as propriedades: associativa, comutativa, elemento neutro e elemento inverso.
Passo 1
O enunciado pede que mostremos que, para a operação de soma entre vetores, valem as propriedades: associativa, comutativa, existência de elemento neutro e existência de elemento inverso.
Informações/definições fornecidas (ou que vamos usar):
Informações/definições fornecidas (ou que vamos usar):
- Vamos trabalhar com vetores em
. Um vetor genérico é , outro é e outro . - A soma entre vetores é definida componente a componente:
- Dois vetores são iguais quando todas as suas componentes correspondentes são iguais, isto é,
se e somente se para todo .
A resolução seguirá mostrando cada propriedade usando a definição componente a componente e propriedades elementares da adição de números reais.
Passo 2
Prova da propriedade associativa: queremos mostrar que, para quaisquer
,
Começamos calculando cada lado componente a componente. Pelas definições,
então
Do outro lado,
logo
Agora usamos a propriedade associativa da adição de números reais: para todo índice
,
Portanto cada componente do vetor
é igual à componente correspondente de
. Como vetores são iguais quando todas as componentes coincidem, concluímos
Isto prova a associatividade da soma de vetores.
Passo 3
Prova da propriedade comutativa: queremos mostrar que, para quaisquer
,
Usando a definição componente a componente,
e
Como a adição em
é comutativa, temos para todo
:
Logo cada componente do primeiro vetor é igual à componente correspondente do segundo vetor. Assim
Exemplo rápido para ficar concreto: se
e
, então
e
— mesma coisa.
Passo 4
Prova da existência do elemento neutro: devemos encontrar um vetor
tal que, para todo
,
Definimos o vetor nulo (zero) por
onde cada componente é o número real
. Então, usando a soma componente a componente,
Como
para todo
(propriedade dos números reais), obtemos
Portanto
é um elemento neutro para a soma de vetores. (Rápida observação de unicidade: se houvesse outro elemento neutro
, então
, logo é único.)
Passo 5
Prova da existência do elemento inverso (aditivo): para cada
precisamos mostrar que existe
tal que
Definimos o inverso aditivo de
por
onde
é o inverso aditivo do número real
. Então
Como
em
para todo
, segue que
Logo
é um inverso aditivo de
. (Também é único: se
satisfaz
, então
; aqui usamos a comutatividade e associatividade já provadas.)
Passo 6
Resumo das razões principais (porque isso ajuda na prova na hora da prova): todas as propriedades são verificadas componente a componente, reduzindo cada identidade vetorial a identidades entre números reais (onde já sabemos que a adição é associativa, comutativa, tem neutro
e inverso
). A igualdade de vetores segue da igualdade de todas as componentes, então as identidades escalares implicam as identidades vetoriais. Respire fundo: é sempre esse o truque — traduzir para componentes e usar propriedades conhecidas dos reais.