Mostre que valem, na soma de vetores, as propriedades: associativa, comutativa, elemento neutro e elemento inverso.

Passo 1

O enunciado pede que mostremos que, para a operação de soma entre vetores, valem as propriedades: associativa, comutativa, existência de elemento neutro e existência de elemento inverso.
Informações/definições fornecidas (ou que vamos usar):
  • Vamos trabalhar com vetores em \mathbb{R}^n. Um vetor genérico é \mathbf{u}=(u_1,u_2,\dots,u_n), outro é \mathbf{v}=(v_1,v_2,\dots,v_n) e outro \mathbf{w}=(w_1,w_2,\dots,w_n).
  • A soma entre vetores é definida componente a componente:
\mathbf{u}+\mathbf{v}=(u_1+v_1,\;u_2+v_2,\;\dots,\;u_n+v_n).
  • Dois vetores são iguais quando todas as suas componentes correspondentes são iguais, isto é, \mathbf{a}=\mathbf{b} se e somente se a_i=b_i para todo i=1,\dots,n.
    A resolução seguirá mostrando cada propriedade usando a definição componente a componente e propriedades elementares da adição de números reais.

Passo 2

Prova da propriedade associativa: queremos mostrar que, para quaisquer \mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w}\in\mathbb{R}^n,
\mathbf{u}+(\mathbf{v}+\mathbf{w})=(\mathbf{u}+\mathbf{v})+\mathbf{w}.
Começamos calculando cada lado componente a componente. Pelas definições,
\mathbf{v}+\mathbf{w}=(v_1+w_1,\;v_2+w_2,\;\dots,\;v_n+w_n),
então
\mathbf{u}+(\mathbf{v}+\mathbf{w}) =(u_1+(v_1+w_1),\;u_2+(v_2+w_2),\;\dots,\;u_n+(v_n+w_n)).
Do outro lado,
\mathbf{u}+\mathbf{v}=(u_1+v_1,\;u_2+v_2,\;\dots,\;u_n+v_n),
logo
(\mathbf{u}+\mathbf{v})+\mathbf{w} =((u_1+v_1)+w_1,\;(u_2+v_2)+w_2,\;\dots,\;(u_n+v_n)+w_n).
Agora usamos a propriedade associativa da adição de números reais: para todo índice i,
u_i+(v_i+w_i)=(u_i+v_i)+w_i.
Portanto cada componente do vetor \mathbf{u}+(\mathbf{v}+\mathbf{w}) é igual à componente correspondente de (\mathbf{u}+\mathbf{v})+\mathbf{w}. Como vetores são iguais quando todas as componentes coincidem, concluímos
\mathbf{u}+(\mathbf{v}+\mathbf{w})=(\mathbf{u}+\mathbf{v})+\mathbf{w}.
Isto prova a associatividade da soma de vetores.

Passo 3

Prova da propriedade comutativa: queremos mostrar que, para quaisquer \mathbf{u},\mathbf{v}\in\mathbb{R}^n,
\mathbf{u}+\mathbf{v}=\mathbf{v}+\mathbf{u}.
Usando a definição componente a componente,
\mathbf{u}+\mathbf{v}=(u_1+v_1,\;u_2+v_2,\;\dots,\;u_n+v_n),
e
\mathbf{v}+\mathbf{u}=(v_1+u_1,\;v_2+u_2,\;\dots,\;v_n+u_n).
Como a adição em \mathbb{R} é comutativa, temos para todo i:
u_i+v_i=v_i+u_i.
Logo cada componente do primeiro vetor é igual à componente correspondente do segundo vetor. Assim
\mathbf{u}+\mathbf{v}=\mathbf{v}+\mathbf{u}.
Exemplo rápido para ficar concreto: se \mathbf{u}=(2,3) e \mathbf{v}=(5,-1), então \mathbf{u}+\mathbf{v}=(7,2) e \mathbf{v}+\mathbf{u}=(7,2) — mesma coisa.

Passo 4

Prova da existência do elemento neutro: devemos encontrar um vetor \mathbf{0} tal que, para todo \mathbf{u}\in\mathbb{R}^n,
\mathbf{u}+\mathbf{0}=\mathbf{u}.
Definimos o vetor nulo (zero) por
\mathbf{0}=(0,0,\dots,0),
onde cada componente é o número real \,0. Então, usando a soma componente a componente,
\mathbf{u}+\mathbf{0}=(u_1+0,\;u_2+0,\;\dots,\;u_n+0).
Como u_i+0=u_i para todo i (propriedade dos números reais), obtemos
\mathbf{u}+\mathbf{0}=(u_1,\;u_2,\;\dots,\;u_n)=\mathbf{u}.
Portanto \mathbf{0} é um elemento neutro para a soma de vetores. (Rápida observação de unicidade: se houvesse outro elemento neutro \mathbf{e}, então \mathbf{e}=\mathbf{e}+\mathbf{0}=\mathbf{0}, logo é único.)

Passo 5

Prova da existência do elemento inverso (aditivo): para cada \mathbf{u}\in\mathbb{R}^n precisamos mostrar que existe \mathbf{v} tal que
\mathbf{u}+\mathbf{v}=\mathbf{0}.
Definimos o inverso aditivo de \mathbf{u} por
-\mathbf{u}=(-u_1,\;-u_2,\;\dots,\;-u_n),
onde -u_i é o inverso aditivo do número real u_i. Então
\mathbf{u}+(-\mathbf{u})=(u_1+(-u_1),\;u_2+(-u_2),\;\dots,\;u_n+(-u_n)).
Como u_i+(-u_i)=0 em \mathbb{R} para todo i, segue que
\mathbf{u}+(-\mathbf{u})=(0,0,\dots,0)=\mathbf{0}.
Logo -\mathbf{u} é um inverso aditivo de \mathbf{u}. (Também é único: se \mathbf{w} satisfaz \mathbf{u}+\mathbf{w}=\mathbf{0}, então \mathbf{w}=\mathbf{w}+\mathbf{0}=\mathbf{w}+(\mathbf{u}+(-\mathbf{u}))=((\mathbf{w}+\mathbf{u})+(-\mathbf{u}))=((\mathbf{u}+\mathbf{w})+(-\mathbf{u}))=\mathbf{0}+(-\mathbf{u})=-\mathbf{u}; aqui usamos a comutatividade e associatividade já provadas.)

Passo 6

Resumo das razões principais (porque isso ajuda na prova na hora da prova): todas as propriedades são verificadas componente a componente, reduzindo cada identidade vetorial a identidades entre números reais (onde já sabemos que a adição é associativa, comutativa, tem neutro 0 e inverso -x). A igualdade de vetores segue da igualdade de todas as componentes, então as identidades escalares implicam as identidades vetoriais. Respire fundo: é sempre esse o truque — traduzir para componentes e usar propriedades conhecidas dos reais.

Resposta

\mathbf{u}+(\mathbf{v}+\mathbf{w})=(\mathbf{u}+\mathbf{v})+\mathbf{w}
\mathbf{u}+\mathbf{v}=\mathbf{v}+\mathbf{u}
\mathbf{u}+\mathbf{0}=\mathbf{u} com \mathbf{0}=(0,0,\dots,0)
\mathbf{u}+(-\mathbf{u})=\mathbf{0} com -\mathbf{u}=(-u_1,-u_2,\dots,-u_n)

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