Prove que:
O oposto de
O oposto de
Passo 1
O enunciado pede para provar a igualdade
onde
e
são vetores quaisquer.
Informações relevantes dadas ou que podemos usar sem prova aqui (são propriedades básicas de vetores): existe um vetor nulo tal que
para todo vetor
; para cada vetor
existe um único vetor
tal que
Informações relevantes dadas ou que podemos usar sem prova aqui (são propriedades básicas de vetores): existe um vetor nulo
a adição vetorial é associativa e comutativa, isto é, para quaisquer vetores
vale
e
Não começo a resolver ainda; só declarei o que o problema pede e quais fatos básicos podemos usar.
Passo 2
Vou lembrar a definição do “oposto” (ou inverso aditivo) de um vetor de forma bem explícita: dizer que
é o oposto de
significa exatamente que
Além disso, esse oposto é único: se
e
satisfazem
e
, então
. Portanto, para provar que
é suficiente mostrar que o vetor
é um oposto de
; ou seja, mostrar que
Se conseguirmos isso, pela unicidade do oposto teremos a igualdade desejada.
Passo 3
Primeiro reescrevo explicitamente
como soma de dois opostos:
Isto é apenas a leitura natural do traço como “o oposto de” aplicado a cada termo, não é uma operação misteriosa. Assim considerei a soma
Passo 4
Agora aplico a associatividade da adição vetorial para agrupar os termos. Usando associatividade duas vezes:
Ainda não troquei a ordem dos termos, só reagrupamento permitido pela associatividade.
Passo 5
Para simplificar mais confortavelmente, uso também a comutatividade para aproximar cada vetor do seu oposto. Primeiro troco ordem dentro do grupo
:
onde em um dos passos usei comutatividade para escrever
, e depois associatividade para agrupar
.
Passo 6
Agora usamos a propriedade definidora do oposto:
. Substituindo na expressão do passo anterior:
Voltando à soma completa que tínhamos, lembrando que ainda falta somar com
, obtemos
Passo 7
Finalmente aplico novamente a propriedade do oposto para
:
. Assim
Portanto juntando tudo temos
Passo 8
Concluímos que
é um oposto (inverso aditivo) de
. Pela unicidade do oposto para cada vetor, segue que esse oposto deve ser exatamente
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