Prove que:
O oposto de \vec{u}+\vec{v}=-\vec{u}-\vec{v}

Passo 1

O enunciado pede para provar a igualdade
-(\vec{u}+\vec{v}) = -\vec{u} - \vec{v},
onde \vec{u} e \vec{v} são vetores quaisquer.
Informações relevantes dadas ou que podemos usar sem prova aqui (são propriedades básicas de vetores): existe um vetor nulo \vec{0} tal que \vec{a}+\vec{0}=\vec{a} para todo vetor \vec{a}; para cada vetor \vec{a} existe um único vetor -\vec{a} tal que
\vec{a}+(-\vec{a})=\vec{0};
a adição vetorial é associativa e comutativa, isto é, para quaisquer vetores \vec{x},\vec{y},\vec{z} vale
(\vec{x}+\vec{y})+\vec{z}=\vec{x}+(\vec{y}+\vec{z})
e
\vec{x}+\vec{y}=\vec{y}+\vec{x}.
Não começo a resolver ainda; só declarei o que o problema pede e quais fatos básicos podemos usar.

Passo 2

Vou lembrar a definição do “oposto” (ou inverso aditivo) de um vetor de forma bem explícita: dizer que \vec{w} é o oposto de \vec{a} significa exatamente que
\vec{a}+\vec{w}=\vec{0}.
Além disso, esse oposto é único: se \vec{w}_1 e \vec{w}_2 satisfazem \vec{a}+\vec{w}_1=\vec{0} e \vec{a}+\vec{w}_2=\vec{0}, então \vec{w}_1=\vec{w}_2. Portanto, para provar que
-(\vec{u}+\vec{v}) = -\vec{u} - \vec{v}
é suficiente mostrar que o vetor -\vec{u}-\vec{v} é um oposto de \vec{u}+\vec{v}; ou seja, mostrar que
(\vec{u}+\vec{v}) + (-\vec{u}-\vec{v}) = \vec{0}.
Se conseguirmos isso, pela unicidade do oposto teremos a igualdade desejada.

Passo 3

Primeiro reescrevo explicitamente -\vec{u}-\vec{v} como soma de dois opostos:
-\vec{u}-\vec{v} = (-\vec{u}) + (-\vec{v}).
Isto é apenas a leitura natural do traço como “o oposto de” aplicado a cada termo, não é uma operação misteriosa. Assim considerei a soma
(\vec{u}+\vec{v}) + \big((- \vec{u}) + (-\vec{v})\big).

Passo 4

Agora aplico a associatividade da adição vetorial para agrupar os termos. Usando associatividade duas vezes:
(\vec{u}+\vec{v}) + \big((- \vec{u}) + (-\vec{v})\big) = \big((\vec{u}+\vec{v})+(-\vec{u})\big)+(-\vec{v}).
Ainda não troquei a ordem dos termos, só reagrupamento permitido pela associatividade.

Passo 5

Para simplificar mais confortavelmente, uso também a comutatividade para aproximar cada vetor do seu oposto. Primeiro troco ordem dentro do grupo (\vec{u}+\vec{v})+(-\vec{u}):
(\vec{u}+\vec{v})+(-\vec{u}) = \vec{u}+ \big(\vec{v}+(-\vec{u})\big) = \vec{u}+ \big((- \vec{u}) + \vec{v}\big) = \big(\vec{u}+(-\vec{u})\big)+\vec{v},
onde em um dos passos usei comutatividade para escrever \vec{v}+(-\vec{u}) = (-\vec{u})+\vec{v}, e depois associatividade para agrupar \vec{u}+(-\vec{u}).

Passo 6

Agora usamos a propriedade definidora do oposto: \vec{u}+(-\vec{u})=\vec{0}. Substituindo na expressão do passo anterior:
\big(\vec{u}+(-\vec{u})\big)+\vec{v} = \vec{0} + \vec{v} = \vec{v}.
Voltando à soma completa que tínhamos, lembrando que ainda falta somar com (- \vec{v}), obtemos
(\vec{u}+\vec{v}) + \big((- \vec{u}) + (-\vec{v})\big) = \vec{v} + (-\vec{v}).

Passo 7

Finalmente aplico novamente a propriedade do oposto para \vec{v}: \vec{v}+(-\vec{v})=\vec{0}. Assim
\vec{v} + (-\vec{v}) = \vec{0}.
Portanto juntando tudo temos
(\vec{u}+\vec{v}) + (-\vec{u}-\vec{v}) = \vec{0}.

Passo 8

Concluímos que -\vec{u}-\vec{v} é um oposto (inverso aditivo) de \vec{u}+\vec{v}. Pela unicidade do oposto para cada vetor, segue que esse oposto deve ser exatamente -(\vec{u}+\vec{v}). Logo
-(\vec{u}+\vec{v}) = -\vec{u} - \vec{v}.

Resposta

-(\vec{u}+\vec{v}) = -\vec{u} - \vec{v}

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