Considere os subespaços vetoriais de R^4 definidos por:
U=(x, y, z, t) in R^4 ; t=x-3 z W=[(2,0,1,1),(0,4,1,1),(-1,2,0,0)]
Mostre que U+W=R^4. Tal soma é uma soma direta? Justifique.

Passo 1

O enunciado pede que mostremos que a soma de subespaços U+W é todo R^4 e que verifiquemos se essa soma é direta. O conteúdo principal envolve o Teorema da Dimensão para soma de subespaços, isto é,
dim(U+W)=dim U+dim W-dim(Ucap W)
Para usar esse teorema, vamos calcular dim U, dim W e dim(Ucap W).

Passo 2

O subespaço
U=(x,y,z,t)inR^4 : t=x-3z
é dado por uma única equação linear não degenerada em R^4. Logo U é um hiperplano de R^4 e
dim U = 4-1 = 3

Passo 3

O subespaço
W=llang<= (2,0,1,1),,(0,4,1,1),,(-1,2,0,0)rrang<=
é o span de três vetores. Para ver sua dimensão, verificamos independência de (2,0,1,1) e (0,4,1,1) e mostraremos que o terceiro é combinação linear desses dois. Suponha
a,(2,0,1,1)+b,(0,4,1,1)=(-1,2,0,0)
Das coordenadas:
  1. 2a=-1Rightarrow a=-tfrac12.
  2. 4b=2Rightarrow b=tfrac12.
  3. Na terceira e quarta coord.: ,a+b=0, que bate com -tfrac12+tfrac12=0.
    Portanto
(-1,2,0,0)=-tfrac12,(2,0,1,1)+tfrac12,(0,4,1,1),
isto é, esses três geradores têm apenas duas direções independentes. Logo
dim W = 2

Passo 4

Agora caracterizamos a interseção Ucap W. Um vetor em W tem a forma
v = a,(2,0,1,1)+b,(0,4,1,1) = (2a,;4b,;a+b,;a+b)
Para vin U, deve valer t=x-3z, ou seja,
a+b = 2a - 3(a+b)
Reescrevendo:
a+b = -a -3b Longrightarrow 2a +4b=0 Longrightarrow a=-2b
Assim os vetores de Ucap W são da forma
bl(-4,4,-1,-1r),
o que define um subespaço unidimensional. Logo
dim(Ucap W)=1

Passo 5

Aplicando o Teorema da Dimensão:
dim(U+W)=dim U+dim W-dim(Ucap W) =3+2-1=4
Como dim(U+W)=4 e U+WsubseteqR^4, concluímos que
U+W=R^4

Passo 6

Para a soma ser direta precisaríamos de Ucap W=0, mas vimos que dim(Ucap W)=1 e, por exemplo, (-4,4,-1,-1)neq(0,0,0,0) pertence a Ucap W. Logo a soma não é direta.

Resposta

Mostrou-se que U+W=R^4 e que a soma não é direta, porque Ucap Wneq0.

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