Considere os subespaços vetoriais de
definidos por:
Mostre que
. Tal soma é uma soma direta? Justifique.
Passo 1
O enunciado pede que mostremos que a soma de subespaços
é todo
e que verifiquemos se essa soma é direta. O conteúdo principal envolve o Teorema da Dimensão para soma de subespaços, isto é,
Para usar esse teorema, vamos calcular
,
e
.
Passo 2
O subespaço
é dado por uma única equação linear não degenerada em
. Logo
é um hiperplano de
e
Passo 3
O subespaço
é o span de três vetores. Para ver sua dimensão, verificamos independência de
e
e mostraremos que o terceiro é combinação linear desses dois. Suponha
Das coordenadas:
-
. -
. - Na terceira e quarta coord.:
, que bate com .
Portanto
isto é, esses três geradores têm apenas duas direções independentes. Logo
Passo 4
Agora caracterizamos a interseção
. Um vetor em
tem a forma
Para
, deve valer
, ou seja,
Reescrevendo:
Assim os vetores de
são da forma
o que define um subespaço unidimensional. Logo
Passo 5
Aplicando o Teorema da Dimensão:
Como
e
, concluímos que
Passo 6
Para a soma ser direta precisaríamos de
, mas vimos que
e, por exemplo,
pertence a
. Logo a soma não é direta.
Resposta
Mostrou-se que
e que a soma não é direta, porque
.