Resolva o item:
Encontre o(s) valor(es) e k de tal forma que o conjunto (1,1,1),(0,-1, k),(0, k,-4) seja linearmente dependente (LD).

Passo 1

O enunciado pede para achar os valores de k que fazem o conjunto
(1,1,1),,(0,-1,k),,(0,k,-4) ser linearmente dependente em R^3.
Sabemos que três vetores em R^3 são linearmente dependentes se, e somente se, o determinante da matriz formada por eles (como linhas ou colunas) for zero.

Passo 2

Formamos a matriz A cujas linhas são os vetores dados:
A = 1 & 1 & 1 [6pt] 0 & -1 & k [6pt] 0 & k & -4 ]

Passo 3

Calculamos o determinante de A por expansão na primeira linha:
det(A) = 1 cdot det!-1 & k [3pt] k & -4 - 1 cdot det!0 & k [3pt] 0 & -4 + 1 cdot det!0 & -1 [3pt] 0 & k
Os dois últimos determinantes são zero, pois têm uma linha inteira nula. Portanto
det(A) = 1l((-1)(-4)-kcdot kr) = 4 - k^2 ]

Passo 4

Impondo det(A)=0 para dependência linear:
4 - k^2 = 0 Longrightarrow k^2 = 4 Longrightarrow k = 2 ;ou; k = -2

Resposta

k = 2 ou k = -2.

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