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Mostre que o conjunto S=p in P2(R) ; p(0)=p(1)=0 é um subespaço de P2(R).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
S = ,pinP2(R) mid p(0)=0 e p(1)=0
é um subespaço de P2(R).
O conteúdo aqui é o conceito de subespaço em espaços vetoriais: precisamos verificar que S não é vazio, que é fechado sob soma de vetores e fechado sob multiplicação escalar.

Passo 2

Mostramos que o polinômio nulo p(x)=0 pertence a S. De fato,
p(0)=0 e p(1)=0,
logo pin S e Sneqemptyset.

Passo 3

Fechamento sob soma: sejam p,qin S. Então
(p+q)(0)=p(0)+q(0)=0+0=0,
(p+q)(1)=p(1)+q(1)=0+0=0
Portanto p+qin S.

Passo 4

Fechamento sob multiplicação escalar: seja pin S e lambdainR. Então
(lambda p)(0)=lambda,p(0)=lambdacdot0=0,
(lambda p)(1)=lambda,p(1)=lambdacdot0=0
Logo lambda pin S.

Resposta

S satisfaz todas as condições de subespaço de P2(R), portanto é um subespaço.

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