Considere um submarino que precisa fazer uma transmissão para um satélite, está submerso. Tendo a água do mar um \mu=\mu_{o}, \epsilon=81 \epsilon_{o}, \sigma= 20 \mathrm{~S} / \mathrm{m}, determine a frequência na qual a densidade de corrente de condução é, em intensidade, dez vezes a densidade de corrente de deslocamento.

Passo 1

O enunciado pede a frequência na qual a densidade de corrente de condução é dez vezes a densidade de corrente de deslocamento em água do mar, cujos parâmetros são \mu=\mu_0, \epsilon=81\,\epsilon_0 e \sigma=20\\ \mathrm{S/m}. O conteúdo envolve as definições de densidade de corrente de condução e de deslocamento a partir das equações de Maxwell em regime harmônico.

Passo 2

A densidade de corrente de condução em um meio ôhmico é dada por
\mathbf{J}_c = \sigma\,\mathbf{E}
onde \sigma é a condutividade elétrica e \mathbf{E} é o campo elétrico.

Passo 3

A densidade de corrente de deslocamento é
\mathbf{J}_d = \frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t}
como \mathbf{D}=\epsilon\,\mathbf{E} e em regime harmônico \mathbf{E}\sim e^{j\omega t}, temos \partial\mathbf{E}/\partial t = j\omega\,\mathbf{E}. Assim, em módulo,
J_d = \omega\,\epsilon\,E.

Passo 4

Queremos J_c = 10\,J_d, isto é,
\sigma\,E = 10\,\omega\,\epsilon\,E.
Cancelando E\neq0, chega-se a
\omega = \frac{\sigma}{10\,\epsilon}.

Passo 5

A frequência f está relacionada a \omega por
f = \frac{\omega}{2\pi}.

Passo 6

Primeiro calculamos \epsilon:
\epsilon = 81\,\epsilon_0 = 81 \times 8{,}854\times10^{-12}\approx 7{,}17\times10^{-10}\,\mathrm{F/m}.
Em seguida,
\omega = \frac{20}{10 \times 7{,}17\times10^{-10}}\approx 2{,}79\times10^{9}\,\mathrm{rad/s}
e finalmente
f = \frac{2{,}79\times10^{9}}{2\pi}\approx 4{,}44\times10^{8}\,\mathrm{Hz}.

Resposta

A frequência é aproximadamente 4,4\times10^{8} Hz.

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