Determine e esboce o maior domínio possível para cada uma das funções abaixo:
f(x, y)=\sqrt[4]{\frac{y^{3}-x^{2} y}{x^{5}}}

Passo 1

O enunciado pede o maior domínio de
f(x,y)=\sqrt[4]{\frac{y^{3}-x^{2}y}{x^{5}}}
Ou seja, precisamos achar o conjunto de (x,y) em \mathbb{R}^2 para os quais
  1. O denominador x^5 não é zero (para evitar divisão por zero).
  2. A expressão dentro da raiz-4ª é \ge0 (já que a raiz de índice par exige argumento não-negativo).

Passo 2

Escrevemos a condição de domínio como
x\neq0 \quad\text{e}\quad \frac{y^3 - x^2y}{x^5} \;\ge\;0.
No numerador fatoramos:
y^3 - x^2 y = y\,(y^2 - x^2) = y\,(y - x)\,(y + x).
Logo a desigualdade vira
\frac{y\,(y - x)\,(y + x)}{x^5}\;\ge\;0.

Passo 3

Para resolver o sinal do quociente, note que
\operatorname{sign}\bigl(\tfrac{y(y-x)(y+x)}{x^5}\bigr) = \operatorname{sign}\bigl(y(y-x)(y+x)\bigr)\,\times\,\operatorname{sign}(x^5) = \operatorname{sign}\bigl(y(y-x)(y+x)\bigr)\,\times\,\operatorname{sign}(x).
Portanto queremos
\operatorname{sign}\bigl(y(y-x)(y+x)\bigr)\,\times\,\operatorname{sign}(x)\;\ge\;0.
Isto equivale a
y(y-x)(y+x)\;=\;0 \quad\text{ou}\quad \operatorname{sign}\bigl(y(y-x)(y+x)\bigr)\;=\;\operatorname{sign}(x).

Passo 4

Analisamos separadamente os casos x>0 e x<0, lembrando de incluir também as soluções de y(y-x)(y+x)=0, que dão valor zero dentro da raiz.
Caso x>0:
  • Raiz zero se y=0, y=x ou y=-x.
  • Para y\neq0,\pm x, requeremos
y(y^2 - x^2) > 0,
cujas soluções em termos de y são
y > x \quad\text{ou}\quad -x < y < 0.
Caso x<0:
  • Raiz zero de novo em y=0, y=x ou y=-x.
  • Para y\neq0,\pm x, agora queremos
y(y^2 - x^2) < 0,
cujas soluções em termos de y são
y < x \quad\text{ou}\quad 0 < y < -x.

Passo 5

Portanto o domínio \displaystyle D é a união dos quatro blocos (mais as fronteiras y=0, y=x, y=-x quando x\neq0). Em forma compacta:
Para x>0:
y \ge x \quad\lor\quad -\,x \le y \le 0.
Para x<0:
y \le x \quad\lor\quad 0 \le y \le -\,x.
E sempre x\neq0.

Passo 6

Esboço do domínio:
  1. Desenhe os eixos x e y.
  2. Trace as retas y=x (diagonal de 45\circ) e y=-x (diagonal de – 45\circ).
  3. Para x>0:
  • Região ao acima da reta y=x (1º quadrante).
  • Região entre y=-x e o eixo y=0 (4º quadrante).
  1. Para x<0:
  • Região entre o eixo y=0 e a reta y=-x (2º quadrante).
  • Região abaixo da reta y=x (3º quadrante).
  1. Inclua as linhas y=0, y=x e y=-x (menos o ponto (0,0)) pois aí o argumento da raiz é zero, o que dá f=0.

Resposta

O maior domínio possível é
D = \bigl\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 : x>0,\;[\,y\ge x\;\lor\;-x\le y\le0\,]\bigr\} \;\cup\; \bigl\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 : x<0,\;[\,y\le x\;\lor\;0\le y\le -x\,]\bigr\}.
No esboço, este conjunto corresponde aos quatro “sectores” indicados nos quadrantes, delimitados pelas retas y=x, y=-x e pelo eixo y=0, sempre com x\neq0.

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