Determine e esboce o maior domínio possível para cada uma das funções abaixo:
Passo 1
O enunciado pede o maior domínio de
Ou seja, precisamos achar o conjunto de
em
para os quais
- O denominador
não é zero (para evitar divisão por zero). - A expressão dentro da raiz-4ª é
(já que a raiz de índice par exige argumento não-negativo).
Passo 2
Escrevemos a condição de domínio como
No numerador fatoramos:
Logo a desigualdade vira
Passo 3
Para resolver o sinal do quociente, note que
Portanto queremos
Isto equivale a
Passo 4
Analisamos separadamente os casos
e
, lembrando de incluir também as soluções de
, que dão valor zero dentro da raiz.
Caso
:
- Raiz zero se
, ou . - Para
, requeremos
cujas soluções em termos de
são
Caso
:
- Raiz zero de novo em
, ou . - Para
, agora queremos
cujas soluções em termos de
são
Passo 5
Portanto o domínio
é a união dos quatro blocos (mais as fronteiras
,
,
quando
). Em forma compacta:
Para
:
Para
:
E sempre
.
Passo 6
Esboço do domínio:
- Desenhe os eixos
e . - Trace as retas
(diagonal de ) e (diagonal de – ). - Para
:
- Região ao acima da reta
(1º quadrante). - Região entre
e o eixo (4º quadrante).
- Para
:
- Região entre o eixo
e a reta (2º quadrante). - Região abaixo da reta
(3º quadrante).
- Inclua as linhas
, e (menos o ponto ) pois aí o argumento da raiz é zero, o que dá .
Resposta
O maior domínio possível é
No esboço, este conjunto corresponde aos quatro “sectores” indicados nos quadrantes, delimitados pelas retas
,
e pelo eixo
, sempre com
.