considere a sucessão u_{n}=\frac{2 n-1}{n-1}
a) prove que ela é minorada;
b) prove que ela é majorada;
c) prove que ela é monótona crescente;
d) Que conclui quanto à existência de limite?

Passo 1

O enunciado define a sequência \bigl(u_n\bigr) por
u_n = \frac{2n-1}{\,n-1\,},\quad n\ge2.
Vamos mostrar que (u_n) é minorada, majorada, monótona decrescente e concluir sobre a existência de limite.

Passo 2

Reescrevendo
u_n = \frac{2n-1}{n-1} = \frac{2(n-1)+1}{n-1} = 2 + \frac{1}{n-1}.
Para todo n\ge2 tem-se \frac{1}{n-1}>0, logo
u_n > 2,
ou seja, 2 é uma minorante. Além disso, para n\ge2 vale \frac{1}{n-1}\le1, de modo que
u_n \le 3,
isto é, 3 é uma majorante.

Passo 3

Para verificar a monotonicidade, calculemos
u_{n+1}-u_n = \Bigl(2 + \tfrac{1}{n}\Bigr) - \Bigl(2 + \tfrac{1}{n-1}\Bigr) = \frac{1}{n} - \frac{1}{n-1} = \frac{(n-1)-n}{n(n-1)} = -\frac{1}{n(n-1)}<0.
Como u_{n+1}-u_n<0 para todo n\ge2, concluímos que (u_n) é estritamente decrescente.

Passo 4

Pela convergência de sequências monotônicas, uma sequência que é decrescente e limitada inferiormente converge. Logo (u_n) tem limite. De fato,
\lim_{n\to\infty}u_n = \lim_{n\to\infty}\Bigl(2 + \tfrac{1}{n-1}\Bigr) = 2 + 0 = 2.

Resposta

A sequência \displaystyle u_n=\frac{2n-1}{n-1} é minorada por 2, majorada por 3, monótona estritamente decrescente e, portanto, converge. O seu limite é 2.

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