considere a sucessão
a) prove que ela é minorada;
b) prove que ela é majorada;
c) prove que ela é monótona crescente;
d) Que conclui quanto à existência de limite?
a) prove que ela é minorada;
b) prove que ela é majorada;
c) prove que ela é monótona crescente;
d) Que conclui quanto à existência de limite?
Passo 1
O enunciado define a sequência
por
Vamos mostrar que
é minorada, majorada, monótona decrescente e concluir sobre a existência de limite.
Passo 2
Reescrevendo
Para todo
tem-se
, logo
ou seja,
é uma minorante. Além disso, para
vale
, de modo que
isto é,
é uma majorante.
Passo 3
Para verificar a monotonicidade, calculemos
Como
para todo
, concluímos que
é estritamente decrescente.
Passo 4
Pela convergência de sequências monotônicas, uma sequência que é decrescente e limitada inferiormente converge. Logo
tem limite. De fato,
Resposta
A sequência
é minorada por
, majorada por
, monótona estritamente decrescente e, portanto, converge. O seu limite é
.