estude quanto à natureza e calcule a soma das séries, se possível.
\sum_{n=1}^{\infty} 3^{-5 n+1}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a natureza e calcular a soma, se possível, da série infinita
\sum_{n=1}^{\infty} 3^{-5n+1}.
Este conteúdo envolve séries geométricas: precisamos identificar o primeiro termo e a razão, verificar convergência e, se for o caso, aplicar a fórmula da soma de uma PG infinita.

Passo 2

Para reconhecer a série como progressão geométrica, analisamos o termo geral:
a_n = 3^{-5n+1}.
Fatorando a potência, obtemos
a_n = 3^{1}\cdot (3^{-5})^n \quad\text{ou}\quad a_n = 3^{-4}\cdot (3^{-5})^{\,n-1}.

Passo 3

Na forma padrão a_n = a_1\,r^{\,n-1}, identificamos
a_1 = 3^{-4} = \tfrac{1}{81}, \quad r = 3^{-5} = \tfrac{1}{243}.

Passo 4

Como \lvert r\rvert = \tfrac{1}{243}<1, concluímos que a série é convergente.

Passo 5

A soma de uma PG infinita convergente é
S = \frac{a_1}{1-r} = \frac{\tfrac{1}{81}}{1 - \tfrac{1}{243}} = \frac{1/81}{242/243} = \frac{243}{81\cdot 242} = \frac{3}{242}.

Resposta

A série é convergente e
\sum_{n=1}^{\infty} 3^{-5n+1} = \frac{3}{242}.

Exercícios relacionados