estude quanto à natureza e calcule a soma das séries, se possível.
\sum_{n=1}^{\infty} 2^{-n}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a natureza (convergente ou divergente) e, se possível, calcular a soma da série
\sum_{n=1}^{\infty}2^{-n}.
Este é um problema de séries infinitas, mais especificamente uma série geométrica. Para resolver, vamos identificar o primeiro termo e a razão, verificar a convergência e, em seguida, usar a fórmula da soma.

Passo 2

Uma série geométrica geral é da forma
\sum_{n=1}^{\infty}a\,r^{\,n-1},
que converge se, e somente se, \lvert r\rvert<1. Nesse caso, a soma é
S=\frac{a}{1-r}.
Nossa série pode ser reescrita como
\sum_{n=1}^{\infty}2^{-n}=\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(\tfrac12\bigr)^{n}.
Aqui o primeiro termo é
a=\bigl(\tfrac12\bigr)^{1}=\tfrac12
e a razão é
r=\tfrac12.

Passo 3

Verificamos que \lvert r\rvert=\tfrac12<1, logo a série é convergente. Aplicando a fórmula da soma:
S=\frac{a}{1-r} =\frac{\tfrac12}{1-\tfrac12} =\frac{\tfrac12}{\tfrac12} =1.

Resposta

A série converge e
\sum_{n=1}^{\infty}2^{-n}=1.

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