Dada a sucessão: 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \frac{1}{16}, \ldots
a) Indique o termo geral;
b) Estude quanto a monótonia;
c) Verifique se é limitada.

Passo 1

O enunciado dá a sequência 1,\;\tfrac12,\;\tfrac14,\;\tfrac18,\;\tfrac1{16},\;\dots
e pede: (a) o termo geral, (b) o estudo da monotonicidade e (c) verificar se é limitada.
O conteúdo principal é progressão geométrica, comparações de termos vizinhos para monotonicidade e noção de limite dos termos para boundedness.

Passo 2

Para achar o termo geral, reconhecemos que é uma progressão geométrica de primeiro termo a_1=1 e razão q=\tfrac12. A fórmula de um PG é
a_n = a_1\,q^{\,n-1}.
Substituindo, vem
a_n = 1\cdot\Bigl(\tfrac12\Bigr)^{n-1} = 2^{1-n}.

Passo 3

Para estudar a monotonicidade, comparamos a_{n+1} e a_n. Usando o termo geral:
a_{n+1} = 2^{1-(n+1)} = 2^{-n} \quad\text{e}\quad a_n = 2^{1-n}.
Logo
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{2^{-n}}{2^{1-n}} = \frac1{2} <1.
Isso implica a_{n+1}<a_n para todo n, ou seja, a sequência é estritamente decrescente.

Passo 4

Para verificar se é limitada notamos que todos os termos são positivos (pois 2^{1-n}>0) e, como começa em a_1=1 e decresce, fica sempre entre 0 e 1. Em particular:
– É limitada superiormente por 1.
– É limitada inferiormente por 0.

Resposta

(a) a_n = 2^{1-n}.
(b) A sequência é estritamente decrescente.
(c) É limitada superiormente por 1 e inferiormente por 0; logo, é limitada.

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