Dada a sucessão:
a) Indique o termo geral;
b) Estude quanto a monótonia;
c) Verifique se é limitada.
a) Indique o termo geral;
b) Estude quanto a monótonia;
c) Verifique se é limitada.
Passo 1
O enunciado dá a sequência
e pede: (a) o termo geral, (b) o estudo da monotonicidade e (c) verificar se é limitada.
O conteúdo principal é progressão geométrica, comparações de termos vizinhos para monotonicidade e noção de limite dos termos para boundedness.
e pede: (a) o termo geral, (b) o estudo da monotonicidade e (c) verificar se é limitada.
O conteúdo principal é progressão geométrica, comparações de termos vizinhos para monotonicidade e noção de limite dos termos para boundedness.
Passo 2
Para achar o termo geral, reconhecemos que é uma progressão geométrica de primeiro termo
e razão
. A fórmula de um PG é
Substituindo, vem
Passo 3
Para estudar a monotonicidade, comparamos
e
. Usando o termo geral:
Logo
Isso implica
para todo
, ou seja, a sequência é estritamente decrescente.
Passo 4
Para verificar se é limitada notamos que todos os termos são positivos (pois
) e, como começa em
e decresce, fica sempre entre 0 e 1. Em particular:
– É limitada superiormente por .
– É limitada inferiormente por .
– É limitada superiormente por
– É limitada inferiormente por
Resposta
(a)
(b) A sequência é estritamente decrescente.
(c) É limitada superiormente por e inferiormente por
; logo, é limitada.
(b) A sequência é estritamente decrescente.
(c) É limitada superiormente por