Verificar se a equação é homogênea, caso seja, resolver.
y^{\prime}=4+\frac{y}{x}+\left(\frac{y}{x}\right)^{2}, condição inicial y(1)=2, obs. \int \frac{d t}{4+t^{2}}=\frac{1}{2} \operatorname{arctag}\left(\frac{t}{2}\right)+C

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a equação diferencial
y' = 4 + \frac{y}{x} + \Bigl(\frac{y}{x}\Bigr)^{2}
é homogênea e, caso seja, resolvê-la com a condição inicial y(1)=2. O conteúdo aqui é resolver uma ODE de primeira ordem homogênea usando a substituição y=xv.

Passo 2

Observamos que o termo do lado direito depende apenas da razão y/x:
4 + \frac{y}{x} + \Bigl(\frac{y}{x}\Bigr)^{2} = F\!\bigl(\tfrac{y}{x}\bigr).
Logo a equação é homogênea de grau zero e podemos usar a substituição y = x\,v(x).

Passo 3

Definimos
y = x\,v(x)
e calculamos
y' = v + x\,\frac{dv}{dx}.

Passo 4

Substituindo em y' = 4 + v + v^{2} (já que v = y/x), obtemos
v + x\,\frac{dv}{dx} = 4 + v + v^{2} \;\;\Longrightarrow\;\; x\,\frac{dv}{dx} = 4 + v^{2}.

Passo 5

Isso é separável em v e x:
\frac{dv}{4 + v^{2}} = \frac{dx}{x}.
Integramos ambos os lados. Usando a primitiva fornecida,
\int \frac{dv}{4 + v^{2}} = \frac{1}{2}\arctan\!\bigl(\tfrac{v}{2}\bigr) + C \quad\text{e}\quad \int \frac{dx}{x} = \ln|x| + C'.

Passo 6

Igualando as integrais,
\frac{1}{2}\arctan\!\bigl(\tfrac{v}{2}\bigr) = \ln|x| + C
ou seja
\arctan\!\bigl(\tfrac{v}{2}\bigr) = 2\ln|x| + C_{1}.
Aplicando a tangente,
\frac{v}{2} = \tan\!\bigl(2\ln|x| + C_{1}\bigr) \quad\Longrightarrow\quad v = 2\,\tan\!\bigl(2\ln|x| + C_{1}\bigr).
Lembrando v=y/x, segue
y = x\,v = 2x\,\tan\!\bigl(2\ln|x| + C_{1}\bigr).

Passo 7

Usamos a condição inicial y(1)=2:
2 = 2\cdot1\cdot\tan\!\bigl(2\ln1 + C_{1}\bigr) = 2\,\tan(C_{1}) \;\Longrightarrow\; \tan(C_{1}) = 1 \;\Longrightarrow\; C_{1} = \frac{\pi}{4}.

Passo 8

Substituindo C_{1}=\pi/4, a solução geral ajustada à condição inicial é
y(x) = 2x\,\tan\!\Bigl(2\ln|x| + \tfrac{\pi}{4}\Bigr).

Resposta

A solução da ODE com y(1)=2 é
y(x) = 2x\,\tan\!\Bigl(2\ln|x| + \tfrac{\pi}{4}\Bigr).

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