Verificar se a equação é homogênea, caso seja, resolver.
, condição inicial
, obs.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a equação diferencial
é homogênea e, caso seja, resolvê-la com a condição inicial
. O conteúdo aqui é resolver uma ODE de primeira ordem homogênea usando a substituição
.
Passo 2
Observamos que o termo do lado direito depende apenas da razão
:
Logo a equação é homogênea de grau zero e podemos usar a substituição
.
Passo 3
Definimos
e calculamos
Passo 4
Substituindo em
(já que
), obtemos
Passo 5
Isso é separável em
e
:
Integramos ambos os lados. Usando a primitiva fornecida,
Passo 6
Igualando as integrais,
ou seja
Aplicando a tangente,
Lembrando
, segue
Passo 7
Usamos a condição inicial
:
Passo 8
Substituindo
, a solução geral ajustada à condição inicial é
Resposta
A solução da ODE com
é