Escreva as dízimas periódicas abaixo como uma série infinita:
1,999 \ldots=

Passo 1

O enunciado pede para escrever a dízima periódica 1,999\ldots como uma série infinita. Para isso, vamos usar a ideia de representar uma expansão decimal repetida como uma série geométrica cujos termos são dígitos multiplicados por potências negativas de 10.

Passo 2

Separemos a parte inteira da parte decimal:
1,999\ldots = 1 + 0,999\ldots.

Passo 3

A parte decimal 0,999\ldots pode ser vista como a soma dos termos
\frac{9}{10},\;\frac{9}{10^2},\;\frac{9}{10^3},\;\dots
ou seja,
0,999\ldots = \sum_{n=1}^{\infty} 9\cdot 10^{-n}.

Passo 4

Juntando a parte inteira e a decimal, obtemos a série infinita para 1,999\ldots:
1,999\ldots = 1 + \sum_{n=1}^{\infty} 9\cdot 10^{-n}.

Resposta

1,999\ldots = 1 + \sum_{n=1}^{\infty} 9\cdot 10^{-n}.

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