Considere a superfícic z = 2x^2 - y^2.
a) Determine a equação do plano tangente à superfície no ponto -2, 2, 4

Passo 1

Beleza! Você tem a superfície dada por e precisa encontrar a equação do plano tangente a essa superfície no ponto . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo como derivadas parciais e a fórmula do plano tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos confirmar se o ponto realmente está na superfície. Substituindo e na equação da superfície:
Então, está tudo certo, o ponto está na superfície.

Passo 3

Agora, precisamos calcular as derivadas parciais de em relação a e . Essas derivadas nos ajudam a encontrar a inclinação da superfície em cada direção.
Calculando :
Calculando :

Passo 4

Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto :

Passo 5

Com as derivadas calculadas, podemos usar a fórmula do plano tangente:
Substituindo os valores:

Passo 6

Vamos simplificar a equação:

Resposta

A equação do plano tangente à superfície no ponto é:

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