Considere a superfície parametrizada por:
\varphi(r, t)=(r \cos t, r \operatorname{sen} t, t), \quad 0 \leq r \leq 1, \quad 0 \leq t \leq 2 \pi
a) Esboce esta superfície.
b) Encontre um expressão para o vetor normal à superfície.
c) A superfície é regular?

Passo 1

O enunciado apresenta a parametrização da superfície
\varphi(r,t) = (r\cos t,\;r\sin t,\;t), \quad 0 \le r \le 1,\;0 \le t \le 2\pi,
queremos (a) esboçar essa superfície, (b) encontrar um vetor normal e (c) verificar se ela é regular. Vamos usar cálculo vetorial de superfícies: interpretamos r e t como parâmetros, calculamos derivadas parciais, produto vetorial e analisamos sua norma.

Passo 2

Para esboçar a superfície observe que, para cada valor de t, o par (r\cos t,r\sin t) descreve um raio no plano xy de comprimento r\in[0,1], enquanto a coordenada z vale exatamente t. Ao aumentar t de 0 a 2\pi, esse raio gira uma volta completa e sobe de z=0 a z=2\pi. O resultado é um “rampe” helicoidal: um disco de raio 1 que vai girando e subindo, formando uma superfície helicoidal.

Passo 3

Para obter o vetor normal calculamos as derivadas parciais
\frac{\partial\varphi}{\partial r} =(\cos t,\;\sin t,\;0), \quad \frac{\partial\varphi}{\partial t} =(-r\sin t,\;r\cos t,\;1).
O vetor normal não unitário é dado pelo produto vetorial
\frac{\partial\varphi}{\partial r} \times \frac{\partial\varphi}{\partial t} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\\ \cos t & \sin t & 0\\\\ -r\sin t & r\cos t & 1 \end{vmatrix} =(\sin t,\;-\,\cos t,\;r).
Uma forma de normal unitário é
\mathbf{n}(r,t) = \frac{1}{\sqrt{1+r^2}} \bigl(\sin t,\;-\,\cos t,\;r\bigr).

Passo 4

Para verificar a regularidade é suficiente checar se o produto vetorial é não nulo. A norma de (\sin t,-\cos t,r) é
\sqrt{\sin^2t + (-\cos t)^2 + r^2} =\sqrt{1 + r^2},
que é sempre positiva para todo 0\le r\le1. Logo a superfície é regular.

Resposta

a) A superfície é um helicoide limitado em 0\le z\le2\pi e raio máximo 1, parecendo um disco que gira e sobe formando uma rampa helicoidal.
b) Um vetor normal não unitário é
\frac{\partial\varphi}{\partial r} \times \frac{\partial\varphi}{\partial t} =(\sin t,\;-\,\cos t,\;r).
c) Sim, a superfície é regular, pois \sqrt{1+r^2}>0 para todo r.

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