\varphi(r, t)=(r \cos t, r \operatorname{sen} t, t), \quad 0 \leq r \leq 1, \quad 0 \leq t \leq 2 \pi
a) Esboce esta superfície.
b) Encontre um expressão para o vetor normal à superfície.
c) A superfície é regular?
Passo 1
O enunciado apresenta a parametrização da superfície
\varphi(r,t) = (r\cos t,\;r\sin t,\;t), \quad 0 \le r \le 1,\;0 \le t \le 2\pi,
queremos (a) esboçar essa superfície, (b) encontrar um vetor normal e (c) verificar se ela é regular. Vamos usar cálculo vetorial de superfícies: interpretamos r e t como parâmetros, calculamos derivadas parciais, produto vetorial e analisamos sua norma.
Passo 2
Para esboçar a superfície observe que, para cada valor de t, o par (r\cos t,r\sin t) descreve um raio no plano xy de comprimento r\in[0,1], enquanto a coordenada z vale exatamente t. Ao aumentar t de 0 a 2\pi, esse raio gira uma volta completa e sobe de z=0 a z=2\pi. O resultado é um “rampe” helicoidal: um disco de raio 1 que vai girando e subindo, formando uma superfície helicoidal.
Passo 3
Para obter o vetor normal calculamos as derivadas parciais
que é sempre positiva para todo 0\le r\le1. Logo a superfície é regular.
Resposta
a) A superfície é um helicoide limitado em 0\le z\le2\pi e raio máximo 1, parecendo um disco que gira e sobe formando uma rampa helicoidal.
b) Um vetor normal não unitário é