Considere as superfícies cujas equações são dadas nos itens a seguir. Identifique estas superfícies.
(a) 4 x^2-y^2+2 z^2+4=0 (em coordenadas cartesianas);
(b) x=2 y^2+3 z^2 (em coordenadas cartesianas).

Passo 1

O enunciado pede para identificar duas superfícies quádricas dadas pelas equações
(a) 4x^2-y^2+2z^2+4=0,
(b) x=2y^2+3z^2
O conteúdo envolvido é classificação de superfícies quádricas, e vamos usar a transformação para a forma canônica de cada equação.

Passo 2

Para a equação (a) começamos isolando os termos quadráticos e passando o constante para o outro lado:
4x^2+2z^2-y^2=-4
Multiplicando ambos os lados por -1 e dividindo por 4, obtemos a forma canônica:
-4x^24-2z^24+y^24=1 Longrightarrow -x^21-z^22+y^24=1
que reescrevemos como
y^24-x^21-z^22=1

Passo 3

Na forma
y^24-x^21-z^22=1
vemos um termo quadrático positivo ( y^2/4) e dois negativos ( -x^2/1, -z^2/2). Isso caracteriza um hiperbóide de duas folhas, cujo eixo principal é o eixo y. Cada folha aparece para |y|>=2.

Passo 4

Para a equação (b) já está explícita em forma de paraboloide:
x=2y^2+3z^2
Podemos interpretá-la como
x=y^2tfrac12+z^2tfrac13,
ou seja, soma de quadrados com sinais positivos.

Passo 5

Como só há termos quadráticos positivos em y e z e o termo em x é linear, isso define um paraboloide elíptico com vértice na origem e abertura ao longo do eixo x (para x>=0).

Resposta

(a) Hiperbóide de duas folhas de eixo no eixo y.
(b) Paraboloide elíptico de eixo no eixo x.

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