Considere as superfícies cujas equações são dadas nos itens a seguir. Identifique estas superfícies.
(a)
(em coordenadas cartesianas);
(b)
(em coordenadas cartesianas).
(a)
(b)
Passo 1
O enunciado pede para identificar duas superfícies quádricas dadas pelas equações
(a)
(b)
O conteúdo envolvido é classificação de superfícies quádricas, e vamos usar a transformação para a forma canônica de cada equação.
Passo 2
Para a equação (a) começamos isolando os termos quadráticos e passando o constante para o outro lado:
Multiplicando ambos os lados por
e dividindo por
, obtemos a forma canônica:
que reescrevemos como
Passo 3
Na forma
vemos um termo quadrático positivo (
) e dois negativos (
,
). Isso caracteriza um hiperbóide de duas folhas, cujo eixo principal é o eixo
. Cada folha aparece para
.
Passo 4
Para a equação (b) já está explícita em forma de paraboloide:
Podemos interpretá-la como
ou seja, soma de quadrados com sinais positivos.
Passo 5
Como só há termos quadráticos positivos em
e
e o termo em
é linear, isso define um paraboloide elíptico com vértice na origem e abertura ao longo do eixo
(para
).
Resposta
(a) Hiperbóide de duas folhas de eixo no eixo
.
(b) Paraboloide elíptico de eixo no eixo .
(b) Paraboloide elíptico de eixo no eixo