Considere as superfícies cujas equações paramétricas são dadas nos itens a seguir. Identifique estas superfícies.
(a) x=cos (v), y=sin (v), z=u, com u, v in R;
(b) x=tan (u) cos (v), y=tan (u) sin (v), z=sec (u), com u, v in R, u neq pi2+k pi para todo k in Z.

Passo 1

O enunciado dá duas superfícies por parametrizações em (u,v). O objetivo é eliminar os parâmetros e reconhecer cada superfície pela sua equação cartesiana. Vamos usar identidades trigonométricas para achar a relação entre x,y,z.

Passo 2

Para o item (a) temos
x=cos(v), y=sin(v), z=u
Calculando
x^2+y^2=cos^2(v)+sin^2(v)=1,
enquanto z pode assumir qualquer valor real. Isso é exatamente a equação de um cilindro circular reto de raio 1 com eixo paralelo ao eixo z.

Passo 3

Para o item (b) temos
x=tan(u)cos(v), y=tan(u)sin(v), z=sec(u),
com uneq pi2+kpi. Note que
x^2+y^2=tan^2(u)l(cos^2(v)+sin^2(v)r)=tan^2(u)
e
tan^2(u)=sec^2(u)-1=z^2-1
Logo
x^2+y^2=z^2-1 Long<=ftrightarrow x^2+y^2 - z^2 = -1
Essa é a forma cartesiana de um hiperbolóide de duas folhas de eixo ao longo de z.

Resposta

(a) Cilindro circular reto de raio 1 alinhado ao eixo z.
(b) Hiperbolóide de duas folhas dado por x^2+y^2 - z^2 = -1.

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