Considere a superfície cuja equação geral em coordenadas cartesianas (x, y, z) é dada por
4 x^2+36 y^2+9 z^2-8 x+36 z+4=0
(a) Identifique a quádrica;
(b) Determine o vetor (x0, y0, z0) que representa a translação da superfície.

Passo 1

O enunciado nos dá a superfície
4x^2+36y^2+9z^2-8x+36z+4=0
e pede (a) que a gente identifique de que tipo de quádrica se trata e (b) que ache o vetor de translação (x0,y0,z0).
O conteúdo é classificação de quádricas por meio de mudança de variável (completar quadrados) para colocar a equação na forma canônica.

Passo 2

Vamos completar quadrados nos termos que não estão centrados em zero.
Para x:
4x^2-8x = 4l(x^2-2xr) =4l[(x-1)^2-1r] =4(x-1)^2-4
Para z:
9z^2+36z =9l(z^2+4zr) =9l[(z+2)^2-4r] =9(z+2)^2-36
O termo em y já está centrado, pois é 36y^2.

Passo 3

Substituindo na equação original:
l[4(x-1)^2-4r] + 36y^2 + l[9(z+2)^2-36r] +4 =0
4(x-1)^2 +36y^2 +9(z+2)^2 -36 =0
4(x-1)^2 +36y^2 +9(z+2)^2 =36
Dividindo por 36:
(x-1)^29 + y^21 + (z+2)^24 =1
Essa é a forma canônica de um elipsóide (todos os coeficientes positivos e soma igual a 1).

Passo 4

Para chegar à forma canônica fizemos as trocas
X = x - 1, Y = y, Z = z + 2,
o que corresponde a deslocar a superfície de modo que o centro vá para a origem. Portanto o vetor de translação é
(x0,y0,z0) = (1,,0,,-2)

Resposta

(a) É um elipsóide.
(b) (x0,y0,z0) = (1,0,-2).

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