Considere a superfície cuja equação geral em coordenadas cartesianas
é dada por
(a) Identifique a quádrica;
(b) Determine o vetor
que representa a translação da superfície.
(b) Determine o vetor
Passo 1
O enunciado nos dá a superfície
e pede (a) que a gente identifique de que tipo de quádrica se trata e (b) que ache o vetor de translação
.
O conteúdo é classificação de quádricas por meio de mudança de variável (completar quadrados) para colocar a equação na forma canônica.
O conteúdo é classificação de quádricas por meio de mudança de variável (completar quadrados) para colocar a equação na forma canônica.
Passo 2
Vamos completar quadrados nos termos que não estão centrados em zero.
Para :
Para
Para
:
O termo em
já está centrado, pois é
.
Passo 3
Substituindo na equação original:
Dividindo por
:
Essa é a forma canônica de um elipsóide (todos os coeficientes positivos e soma igual a 1).
Passo 4
Para chegar à forma canônica fizemos as trocas
o que corresponde a deslocar a superfície de modo que o centro vá para a origem. Portanto o vetor de translação é
Resposta
(a) É um elipsóide.
(b) .
(b)