Considere as superfícies cujas equações paramétricas são dadas nos itens a seguir. Identifique estas superfícies.
(a)
, com
;
(b)
com
.
(a)
(b)
Passo 1
O enunciado dá duas parametrizações de superfícies em
. Para identificá-las, vamos eliminar os parâmetros e comparar as equações obtidas com as formas canônicas de superfícies de revolução e quádricas (cilindro, esferas, cones, hiperbolóides etc.).
Passo 2
Analisando o item (a):
Temos
Temos
Calculando
e
varia livremente em
. Portanto a equação implícita é
que descreve um cilindro circular de raio 1 com eixo paralelo ao eixo
.
Passo 3
Analisando o item (b):
Temos
Temos
Primeiro note que
Como
, segue
Essa é a forma canônica
que define um hiperbolóide de duas folhas com eixo no
. Como
, a parametrização cobre a folha superior (
).
Resposta
(a) Cilindro circular de raio
com eixo paralelo ao eixo
.
(b) Hiperbolóide de duas folhas dado por , parametrizado na folha superior.
(b) Hiperbolóide de duas folhas dado por