Considere as superfícies cujas equações paramétricas são dadas nos itens a seguir. Identifique estas superfícies.
(a) x=cos (v), y=sin (v), z=u, com u, v in R;
(b) x=cos (u) sinh (v) ; y=sin (u) sinh (v) ; z=cosh (v) ; com u, v in R.

Passo 1

O enunciado dá duas parametrizações de superfícies em R^3. Para identificá-las, vamos eliminar os parâmetros e comparar as equações obtidas com as formas canônicas de superfícies de revolução e quádricas (cilindro, esferas, cones, hiperbolóides etc.).

Passo 2

Analisando o item (a):
Temos
x=cos(v), y=sin(v), z=u
Calculando
x^2+y^2=cos^2(v)+sin^2(v)=1,
e z=u varia livremente em R. Portanto a equação implícita é
x^2+y^2=1,
que descreve um cilindro circular de raio 1 com eixo paralelo ao eixo z.

Passo 3

Analisando o item (b):
Temos
x=cos(u),sinh(v), y=sin(u),sinh(v), z=cosh(v)
Primeiro note que
x^2+y^2=sinh^2(v)l(cos^2(u)+sin^2(u)r)=sinh^2(v)
Como z=cosh(v), segue
z^2 - l(x^2+y^2r) =cosh^2(v)-sinh^2(v) =1
Essa é a forma canônica
z^21-x^21-y^21=1,
que define um hiperbolóide de duas folhas com eixo no z. Como cosh(v)>=1, a parametrização cobre a folha superior ( z>=1).

Resposta

(a) Cilindro circular de raio 1 com eixo paralelo ao eixo z.
(b) Hiperbolóide de duas folhas dado por z^2 - x^2 - y^2 = 1, parametrizado na folha superior.

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