Considere a superfície dada implicitamente por
x^2+2 y^2+2 z^2=-4 x y z
(a) Determine as derivadas parciais partial zpartial x e partial zpartial y.
(b) Determine o domínio das funções partial zpartial x e partial zpartial y calculadas no item anterior.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma superfície definida pela equação x^2 + 2y^2 + 2z^2 = -4xyz . O que precisamos fazer aqui é calcular as derivadas parciais de z em relação a x e a y , ou seja, partial zpartial x e partial zpartial y . Para isso, vamos usar o conceito de derivação implícita, que é útil quando temos uma relação entre as variáveis e queremos encontrar a taxa de variação de uma delas em relação a outra.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a derivada em ambos os lados da equação em relação a x . Lembre-se que quando derivamos uma função em relação a uma variável, as outras variáveis são consideradas constantes, a menos que elas também dependam da variável que estamos diferenciando. Como z pode depender de x , precisamos usar a regra da cadeia para derivar termos que envolvem z .
Derivando ambos os lados em relação a x :
ddx(x^2) + ddx(2y^2) + ddx(2z^2) = ddx(-4xyz)
Vamos derivar cada termo:
  • ddx(x^2) = 2x
  • ddx(2y^2) = 0 (porque y é tratado como constante em relação a x )
  • ddx(2z^2) = 4z partial zpartial x (usando a regra da cadeia)
  • ddx(-4xyz) = -4y z - 4x y partial zpartial x (produto de x , y e z )
Então, substituindo os termos derivados na equação:
2x + 0 + 4z partial zpartial x = -4yz - 4xy partial zpartial x

Passo 3

Agora, vamos isolar partial zpartial x para encontrar sua expressão. Vamos mover os termos que envolvem partial zpartial x para um lado da equação e os demais para o outro lado:
4z partial zpartial x + 4xy partial zpartial x = -4yz - 2x
Fatorando partial zpartial x no lado esquerdo:
partial zpartial x (4z + 4xy) = -4yz - 2x
Agora, isolamos partial zpartial x :
partial zpartial x = -4yz - 2x4z + 4xy
Podemos simplificar essa expressão dividindo numerador e denominador por 2:
partial zpartial x = -2yz - x2z + 2xy

Passo 4

Agora, vamos fazer o mesmo processo para encontrar partial zpartial y . Vamos derivar a equação original em relação a y :
ddy(x^2) + ddy(2y^2) + ddy(2z^2) = ddy(-4xyz)
Derivando cada termo:
  • ddy(x^2) = 0 (porque x é tratado como constante em relação a y )
  • ddy(2y^2) = 4y
  • ddy(2z^2) = 4z partial zpartial y (usando a regra da cadeia)
  • ddy(-4xyz) = -4xz - 4xy partial zpartial y (produto de x , y e z )
Substituindo na equação:
0 + 4y + 4z partial zpartial y = -4xz - 4xy partial zpartial y

Passo 5

Agora, vamos isolar partial zpartial y :
4z partial zpartial y + 4xy partial zpartial y = -4xz - 4y
Fatorando partial zpartial y :
partial zpartial y (4z + 4xy) = -4xz - 4y
Isolando partial zpartial y :
partial zpartial y = -4xz - 4y4z + 4xy
Simplificando dividindo numerador e denominador por 4:
partial zpartial y = -xz - yz + xy

Resposta

As derivadas parciais são:
partial zpartial x = -2yz - x2z + 2xy
e
partial zpartial y = -xz - yz + xy

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