Considere a superfície dada implicitamente por
(a) Determine as derivadas parciais
.
(b) Determine o domínio das funções
calculadas no item anterior.
(b) Determine o domínio das funções
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma superfície definida pela equação
. O que precisamos fazer aqui é calcular as derivadas parciais de
em relação a
e a
, ou seja,
e
. Para isso, vamos usar o conceito de derivação implícita, que é útil quando temos uma relação entre as variáveis e queremos encontrar a taxa de variação de uma delas em relação a outra.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a derivada em ambos os lados da equação em relação a
. Lembre-se que quando derivamos uma função em relação a uma variável, as outras variáveis são consideradas constantes, a menos que elas também dependam da variável que estamos diferenciando. Como
pode depender de
, precisamos usar a regra da cadeia para derivar termos que envolvem
.
Derivando ambos os lados em relação a
:
Vamos derivar cada termo:
-
-
(porque é tratado como constante em relação a ) -
(usando a regra da cadeia) -
(produto de , e )
Então, substituindo os termos derivados na equação:
Passo 3
Agora, vamos isolar
para encontrar sua expressão. Vamos mover os termos que envolvem
para um lado da equação e os demais para o outro lado:
Fatorando
no lado esquerdo:
Agora, isolamos
:
Podemos simplificar essa expressão dividindo numerador e denominador por 2:
Passo 4
Agora, vamos fazer o mesmo processo para encontrar
. Vamos derivar a equação original em relação a
:
Derivando cada termo:
-
(porque é tratado como constante em relação a ) -
-
(usando a regra da cadeia) -
(produto de , e )
Substituindo na equação:
Passo 5
Agora, vamos isolar
:
Fatorando
:
Isolando
:
Simplificando dividindo numerador e denominador por 4:
Resposta
As derivadas parciais são:
e