Use o limite da soma de Riemann para obter fórmulas para as integrais definidas abaixo, onde a<b.
integrala^b x^3 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integrala^b x^3,dx
usando a definição de integral como limite de soma de Riemann.
Conteúdo: interpretar integral definida como
limntoinftysumi=1^nf(xi^*),De<a x,
escolher partição uniforme de [a,b], f(x)=x^3 e usar fórmulas para sum i, sum i^2, sum i^3.

Passo 2

Tomamos uma partição uniforme com
De<a x=b-an,
pontos de amostragem pelo extremo direito:
xi = a + i,De<a x, i=1,2,dots,n
A soma de Riemann é
Sn = sumi=1^n (xi)^3,De<a x = sumi=1^n l(a + i,De<a xr)^3,De<a x

Passo 3

Expandindo o cubo dentro da soma e colocando De<a x em evidência, obtemos
Sn =De<a xsumi=1^nl(a^3 +3a^2,iDe<a x +3a,(iDe<a x)^2+(iDe<a x)^3r)
=De<a xl[n,a^3 +3a^2,De<a xsumi=1^n i +3a,De<a x^2sumi=1^n i^2 +De<a x^3sumi=1^n i^3r]
Usando as fórmulas
sumi=1^n i=n(n+1)2, sumi=1^n i^2=n(n+1)(2n+1)6, sumi=1^n i^3=l(n(n+1)2r)^2,
e substituindo De<a x=(b-a)/n, segue após simplificação
limntoinftySn = a^3(b-a) +3a^2(b-a)^22 + a(b-a)^3 +(b-a)^44

Passo 4

Para ver que essa soma é tfracb^4-a^44, note a fatoração
b^4-a^4=(b-a)l(b^3+b^2a+ba^2+a^3r)
e compare com
a^3(b-a)+tfrac3a^2(b-a)^22+a(b-a)^3+tfrac(b-a)^44 =b^4-a^44

Resposta

integrala^b x^3,dx = b^4-a^44

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