Use o limite da soma de Riemann para obter fórmulas para as integrais definidas abaixo, onde a<b.
integrala^b x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integrala^bx,dx
usando o limite da soma de Riemann. Aqui o conteúdo é a definição de integral definida como
limntoinftysumi=1^nf(xi^*),De<a x,
com f(x)=x, partição de [a,b] em n subintervalos e escolha de pontos xi^* em cada subintervalo.

Passo 2

Vamos dividir [a,b] em n subintervalos iguais, cada um de comprimento
De<a x = b - an
Tomamos como ponto de amostragem o extremo direito de cada subintervalo:
;xi = a + i,De<a x, i=1,2,dots,n
A soma de Riemann torna-se
sumi=1^nxi,De<a x = sumi=1^nl(a + i,De<a xr),De<a x

Passo 3

Separamos a soma em duas partes:
sumi=1^nl(a + i,De<a xr),De<a x = De<a xsumi=1^na ;+;De<a xsumi=1^ni,De<a x
Como sumi=1^na = n,a e sumi=1^ni = tfracn(n+1)2, obtemos
sumi=1^nxi,De<a x = De<a x,(n,a);+;De<a x!l(n(n+1)2r)De<a x = a,(b-a);+;(b-a)^22,n+1n

Passo 4

Agora tomamos o limite quando ntoinfty. Note que
limntoinftyn+1n=1
Portanto
integrala^bx,dx =limntoinftysumi=1^nxi,De<a x = a,(b-a)+(b-a)^22 = 2a(b-a)+(b-a)^22 = b^2 - a^22

Resposta

boxedintegrala^bx,dx = b^2 - a^22

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