Seja g(t)=f(e^3 t, 5 t^4+t^2, cos t) onde f é uma função diferenciável.
Expresse g^prime(t) em termos das derivadas parciais de f.

Passo 1

O enunciado define
g(t)=fl(e^3t,,5t^4+t^2,,cos tr)
onde f é diferenciável. Queremos calcular g'(t) aplicando a regra da cadeia para função de várias variáveis.

Passo 2

A regra da cadeia para
g(t)=fl(u(t),v(t),w(t)r)
diz que
g'(t) =partial fpartial xl(u(t),v(t),w(t)r),u'(t) +partial fpartial yl(u(t),v(t),w(t)r),v'(t) +partial fpartial zl(u(t),v(t),w(t)r),w'(t)

Passo 3

Aqui identificamos
u(t)=e^3t, v(t)=5t^4+t^2, w(t)=cos t,
cujo cálculo dá
u'(t)=3e^3t, v'(t)=20t^3+2t, w'(t)=-sin t

Passo 4

Substituindo esses resultados na fórmula da regra da cadeia, obtemos
g'(t) =partial fpartial xl(e^3t,5t^4+t^2,cos tr),3e^3t +partial fpartial yl(e^3t,5t^4+t^2,cos tr),(20t^3+2t) +partial fpartial zl(e^3t,5t^4+t^2,cos tr),(-sin t)

Resposta

g'(t) =partial fpartial x(e^3t,5t^4+t^2,cos t),3e^3t +partial fpartial y(e^3t,5t^4+t^2,cos t),(20t^3+2t) -partial fpartial z(e^3t,5t^4+t^2,cos t),sin t

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