Suponha que a equação z=f(x, y) seja expressa na forma polar z=g(r, theta) através da substituição x=r cos theta e y=r sen theta.
Ainda usando o resultado do terceiro item, mostre que z=f(x, y) satisfaz a equação de Laplace
partial^2 zpartial x^2+partial^2 zpartial y^2=0
se, e somente se, z=g(r, theta) satisfaz a equação
partial^2 zpartial r^2+1r^2 partial^2 zpartial theta^2+1r partial zpartial r=0
A última equação acima é chamada de forma polar da equação de Laplace.

Passo 1

O enunciado diz que temos z=f(x,y) e, em coordenadas polares, escrevemos
z=g(r,theta), x=rcostheta,;y=rsintheta
Precisamos mostrar que
fxx+fyy=0
se, e somente se,
grr+1r,gr+1r^2,gthetatheta=0
Para isso vamos usar a regra da cadeia (resultado do item III).

Passo 2

Pela regra da cadeia temos as derivadas de primeira ordem em polares:
zr=partial zpartial r =fx,partial xpartial r+fy,partial ypartial r =fxcostheta+fysintheta,
ztheta=partial zpartialtheta =fx,partial xpartialtheta+fy,partial ypartialtheta =-r,fxsintheta+r,fycostheta

Passo 3

Agora diferenciamos de novo em r e em theta. Usando o resultado do item III (que faz esse cálculo completo) obtemos:
zrr =fxxcos^2theta +2,fxysinthetacostheta +fyysin^2theta,
zthetatheta =r^2l(fxxsin^2theta -2,fxysinthetacostheta +fyycos^2thetar)

Passo 4

Somando as três parcelas da forma polar:
zrr+1r,zr+1r^2,zthetatheta =l(fxx+fyyr)l(cos^2theta+sin^2thetar) =fxx+fyy
Logo
fxx+fyy=0 Long<=ftrightarrow zrr+1r,zr+1r^2,zthetatheta=0

Resposta

Concluímos que De<a f=0 em coordenadas cartesianas se, e somente se,
grr+1rgr+1r^2gthetatheta=0,
isto é, a forma polar da equação de Laplace.

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