Suponha que a equação
seja expressa na forma polar
através da substituição
e
.
Ainda usando o resultado do terceiro item, mostre que
satisfaz a equação de Laplace
se, e somente se,
satisfaz a equação
A última equação acima é chamada de forma polar da equação de Laplace.
Ainda usando o resultado do terceiro item, mostre que
Passo 1
O enunciado diz que temos
e, em coordenadas polares, escrevemos
Precisamos mostrar que
se, e somente se,
Para isso vamos usar a regra da cadeia (resultado do item III).
Passo 2
Pela regra da cadeia temos as derivadas de primeira ordem em polares:
Passo 3
Agora diferenciamos de novo em
e em
. Usando o resultado do item III (que faz esse cálculo completo) obtemos:
Passo 4
Somando as três parcelas da forma polar:
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Resposta
Concluímos que
em coordenadas cartesianas se, e somente se,
isto é, a forma polar da equação de Laplace.