Considere a superfície definida pela equação
.
Determine os valores de
para os quais o plano
intercepta a superfície e identifique as curvas de interseção.
Determine os valores de
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente recebeu uma superfície definida pela equação
e um plano
. A missão é descobrir para quais valores de
esse plano corta a superfície e identificar como são essas curvas de interseção. Vamos precisar das ferramentas da geometria analítica para resolver isso, mexendo com equações de superfícies e planos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa o plano
. Esse é um plano paralelo ao eixo
, pois
é constante e igual a
. Agora, para encontrar a interseção entre o plano e a superfície, a gente substitui
por
na equação da superfície.
Passo 3
Substituindo
na equação
, fica:
Vamos reorganizar essa equação para facilitar a análise:
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 4
Agora, temos a equação
. Essa é a equação de um círculo no plano
com raio
. Mas, para que esse círculo exista no mundo real, o raio precisa ser um número real, ou seja,
tem que ser positivo ou zero.
Passo 5
Então, vamos resolver a condição
:
Isso implica que
ou
. Portanto, somente para valores de
com módulo maior ou igual a 1, o plano
irá cortar a superfície, formando círculos no plano
.
Passo 6
Agora, para identificar as curvas de interseção: como a equação resultante é
, que representa um círculo, concluímos que as curvas de interseção são círculos no plano
quando
ou
.
Resposta
Os valores de
para os quais o plano
intercepta a superfície são todos os números reais com
. Nesses casos, as curvas de interseção são círculos no plano
com equação
.