Considere a superfície definida pela equação -x^2+y^2-z^2=1.
Determine os valores de k para os quais o plano y=k intercepta a superfície e identifique as curvas de interseção.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente recebeu uma superfície definida pela equação -x^2 + y^2 - z^2 = 1 e um plano y = k. A missão é descobrir para quais valores de k esse plano corta a superfície e identificar como são essas curvas de interseção. Vamos precisar das ferramentas da geometria analítica para resolver isso, mexendo com equações de superfícies e planos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa o plano y = k. Esse é um plano paralelo ao eixo xz, pois y é constante e igual a k. Agora, para encontrar a interseção entre o plano e a superfície, a gente substitui y por k na equação da superfície.

Passo 3

Substituindo y = k na equação -x^2 + y^2 - z^2 = 1, fica:
-x^2 + k^2 - z^2 = 1
Vamos reorganizar essa equação para facilitar a análise:
-x^2 - z^2 = 1 - k^2
Multiplicando ambos os lados por -1:
x^2 + z^2 = k^2 - 1

Passo 4

Agora, temos a equação x^2 + z^2 = k^2 - 1. Essa é a equação de um círculo no plano xz com raio raizk^2 - 1. Mas, para que esse círculo exista no mundo real, o raio precisa ser um número real, ou seja, k^2 - 1 tem que ser positivo ou zero.

Passo 5

Então, vamos resolver a condição k^2 - 1 >= 0:
k^2 - 1 >= 0 k^2 >= 1
Isso implica que k >= 1 ou k <= -1. Portanto, somente para valores de k com módulo maior ou igual a 1, o plano y = k irá cortar a superfície, formando círculos no plano xz.

Passo 6

Agora, para identificar as curvas de interseção: como a equação resultante é x^2 + z^2 = k^2 - 1, que representa um círculo, concluímos que as curvas de interseção são círculos no plano y = k quando k >= 1 ou k <= -1.

Resposta

Os valores de k para os quais o plano y = k intercepta a superfície são todos os números reais com |k| >= 1. Nesses casos, as curvas de interseção são círculos no plano y = k com equação x^2 + z^2 = k^2 - 1.

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