Considere a superfície S de equação z=2 x^2+2 y^2.
a) Determine o ponto P0 in S tal que o plano tangente a S em P0 seja ortogonal ao vetor V=(0,1,-16).
b) Escreva a equação do plano tangente referido no item a).

Passo 1

O enunciado nos dá a superfície S definida por
z=2x^2+2y^2
e pede
(a) o ponto P0in S onde o plano tangente é ortogonal ao vetor V=l(0,1,-tfrac16r),
(b) a equação desse plano tangente.
O conteúdo principal é que, para uma superfície de nível F(x,y,z)=0, o vetor normal ao plano tangente em um ponto é nabla F. No caso de uma superfície dada por z=f(x,y), podemos usar
F(x,y,z)=f(x,y)-z

Passo 2

Definimos
F(x,y,z)=2x^2+2y^2 - z,
logo o vetor normal ao plano tangente em (x,y,z) é
nabla F(x,y,z)=l(4x,;4y,;-1r)

Passo 3

Para que o plano tangente em P0=(x0,y0,z0) seja ortogonal a V, precisamos que nabla F(P0) seja paralelo a V. Assim existe lambda tal que
(4x0,,4y0,,-1)=lambdal(0,1,-tfrac16r)
Igualando componentes:
  • 4x0=0implies x0=0.
  • 4y0=lambda.
  • -1=-tfraclambda6implies lambda=6.
    Logo 4y0=6implies y0=tfrac32.
    Como
z0=2x0^2+2y0^2 =2cdot0+2cdot94 =92,
temos
P0=l(0,;tfrac32,;tfrac92r)

Passo 4

A equação do plano tangente em P0 é
nabla F(P0),cdot,(x-x0,;y-y0,;z-z0)=0,
isto é, com nabla F(P0)=(0,6,-1) e (x0,y0,z0)=(0,tfrac32,tfrac92),
(0,6,-1)cdotl(x,;y-tfrac32,;z-tfrac92r)=0
Longrightarrow 6l(y-tfrac32r)-(z-tfrac92)=0
Longrightarrow 6y - z - 92=0,
ou equivalentemente
z=6y-tfrac92

Resposta

(a) P0=l(0,tfrac32,tfrac92r)
(b) z=6y-tfrac92

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