Verifique se as funções abaixo são diferenciáveis em
f(x, y)= x yx^2+y^2, & (x, y) neq(0,0) 0, & (x, y)=(0,0)

Passo 1

O enunciado define
f(x,y)= dfracx,yx^2+y^2,&(x,y)neq(0,0), 0,&(x,y)=(0,0),
e pede verificar onde f é diferenciável. Para isso, vamos (i) analisar pontos (x,y)neq(0,0) e (ii) estudar a diferenciabilidade em (0,0).

Passo 2

Se (x,y)neq(0,0), o denominador x^2+y^2 é não nulo e f é quociente de funções polinomiais diferenciáveis com denominador distinto de zero. Logo, f é diferenciável em todo ponto (x,y)neq(0,0).

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais de f em (0,0) pela definição. Primeiro
partial fpartial x(0,0) =limhto0f(h,0)-f(0,0)h =limhto00-0h =0
Analogamente,
partial fpartial y(0,0) =limkto0f(0,k)-f(0,0)k =limkto00-0k =0
Portanto, a melhor aproximação linear em (0,0) é
L(h,k)=0cdot h+0cdot k=0

Passo 4

Para testar diferenciabilidade em (0,0) precisamos ver se
lim(h,k)to(0,0) f(h,k)-L(h,k)raizh^2+k^2 =lim(h,k)to(0,0) f(h,k)raizh^2+k^2
é zero. Tomando o caminho h=k=tneq0, temos
f(t,t)=tcdot tt^2+t^2=12,
e
f(t,t)raizt^2+t^2 =tfrac12raiz2,lvert trvert =12raiz2cdot1lvert trvert ;xrightarrow[tto0];+infty
não tende a zero. Logo, f não satisfaz a condição de diferenciabilidade em (0,0).

Resposta

f é diferenciável em todos os pontos (x,y)neq(0,0) e não é diferenciável em (0,0).

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