Considere a superfície de equação x^2+y^2-z^2=k, onde k é uma constante real.
Classifique as superfícies obtidas quando
i. k<0
ii. k=0
iii. k>0

Passo 1

O enunciado pede para classificar a superfície de equação
x^2+y^2-z^2=k
dependendo do sinal de k. Esse é um caso clássico de superfície quádricas, onde a forma quadrática x^2+y^2-z^2 muda de tipo conforme o valor de k. Vamos ver cada caso separadamente.

Passo 2

Caso k<0. Escrevendo k=-lvert krvert, temos
x^2+y^2-z^2=-lvert krvert ;Longrightarrow; z^2-x^2-y^2=lvert krvert
Dividindo por lvert krvert,
z^2lvert krvert-x^2lvert krvert-y^2lvert krvert=1,
o que é exatamente a equação padrão de um hiperbolóide de duas folhas, com eixos paralelos a z.

Passo 3

Caso k=0. A equação fica
x^2+y^2-z^2=0 ;Longrightarrow; x^2+y^2=z^2
Isso é o cone duplo (duas napas), pois para cada z positivo ou negativo temos a seção circular de raio lvert zrvert.

Passo 4

Caso k>0. Dividindo por k,
x^2k+y^2k-z^2k=1
Aqui os dois primeiros termos são positivos e o último negativo, o que define um hiperbolóide de uma folha, com eixo principal ao longo de z.

Resposta

i. k<0: hiperbolóide de duas folhas.
ii. k=0: cone duplo.
iii. k>0: hiperbolóide de uma folha.

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