Represente a superfície cônica de vértice

Passo 1

O enunciado pede a representação da superfície cônica de vértice V=(0,0,5) e diretriz dada pela curva interseção de z = x^2+y^2 e z = 4. O conteúdo envolvido é a geração de um cone por retas que partem do vértice e passam pela diretriz, e vamos obter as formas paramétrica e implícita dessa superfície.

Passo 2

A diretriz é a interseção de
z = x^2 + y^2
e
z = 4
Logo, no plano z = 4 ela satisfaz
x^2 + y^2 = 4
ou seja, é o círculo de raio 2 em z=4.

Passo 3

Tomando um ponto genérico da diretriz
P = (2costheta,,2sintheta,,4)
uma reta geratriz a partir de V pode ser descrita por
r(t) = V + t,l(P - Vr)
Aqui tinR.

Passo 4

Calculando as componentes de r(t,theta), obtemos
x(t,theta) = 2,tcostheta
y(t,theta) = 2,tsintheta
z(t,theta) = 5 + t,(4 - 5) = 5 - t
com thetain[0,2pi) e tinR. Essa é a representação paramétrica do cone.

Passo 5

Para a forma implícita, note que
x^2 + y^2 = 4,t^2
e ao mesmo tempo
t = 5 - z
Substituindo t na primeira, resulta
x^2 + y^2 = 4,(5 - z)^2

Resposta

Representação paramétrica:
r(t,theta) = l(2,tcostheta,;2,tsintheta,;5 - tr),
com tinR e thetain[0,2pi).
Equação cartesiana (implícita):
x^2 + y^2 = 4,(5 - z)^2

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