Encontre a equação do elipsoide com centro na origem, um dos vértices em (1,0,0) e a interseção com o plano x=12 seja a curva y^23+z^212=1.

Passo 1

O enunciado pede a equação de um elipsoide centrado na origem, que tem um dos vértices em (1,0,0) e cuja interseção com o plano x=tfrac12 é a curva y^23+z^212=1. O conteúdo aqui é elipsoides na forma canônica e cortes transversais. Vamos usar a equação geral
x^2a^2+y^2b^2+z^2c^2=1,
determinar a pelo vértice e depois impor que a seção em x=tfrac12 coincida com a curva dada para achar b e c.

Passo 2

Como (1,0,0) é vértice, a semi-aresta no eixo x vale a=1. Logo a equação do elipsoide fica
x^2+y^2b^2+z^2c^2=1

Passo 3

Na interseção com o plano x=tfrac12, substituímos x=tfrac12 em ;x^2+y^2b^2+z^2c^2=1; e obtemos
14+y^2b^2+z^2c^2=1 Longrightarrow y^2b^2+z^2c^2=34

Passo 4

Queremos que essa curva seja exatamente
y^23+z^212=1
Para comparar, dividimos a equação do elipsoide por tfrac34, isto é, escrevemos
tfracy^2b^2tfrac34 +tfracz^2c^2tfrac34 =1 Longrightarrow y^2l(tfrac34b^2r) +z^2l(tfrac34c^2r) =1

Passo 5

Comparando denominadores com y^23+z^212=1, temos
tfrac34b^2=3 Longrightarrow b^2=4,
tfrac34c^2=12 Longrightarrow c^2=16

Resposta

x^2+y^24+z^216=1

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