Determine os três cilindros projetantes das curvas de interseção das superfícies abaixo e construa, no primeiro octante (quando for possível), a curva dada pela interseção de dois dos cilindros. Caso não seja possível no primeiro, escolha outro. A seguir parametrize a curva dada pelo sistema escolhido.
e
.
Passo 1
O enunciado dá duas superfícies quádricas
e
queremos (1) determinar os três cilindros projetantes da curva de interseção (projeções nos planos
,
e
); (2) construir, no primeiro octante, a curva comum a dois desses cilindros; (3) parametrizá-la. Para isso usaremos a técnica de eliminar variáveis entre as equações.
Passo 2
Projeção no plano
: eliminamos
. Da primeira superfície
da segunda
Igualando essas expressões para
obtemos
Portanto o cilindro projetante no plano
é
Projeção no plano
: eliminamos
. Da primeira
da segunda
Igualando
Assim o cilindro projetante no plano
é
Projeção no plano
: eliminamos
. Da primeira
da segunda
Igualando
Logo o cilindro projetante no plano
é
Passo 3
Vamos escolher os dois primeiros cilindros, pois eles se intersectam criando uma curva no primeiro octante (
,
,
). São eles:
No primeiro octante, a projeção no plano
é o arco de círculo de raio
com
,
; e o valor de
fica positivo (pois
).
Passo 4
Para parametrizar essa curva, introduzimos o parâmetro
de modo que
que satisfaz
e garante
. Em seguida
Logo a parametrização é