Determine os três cilindros projetantes das curvas de interseção das superfícies abaixo e construa, no primeiro octante (quando for possível), a curva dada pela interseção de dois dos cilindros. Caso não seja possível no primeiro, escolha outro. A seguir parametrize a curva dada pelo sistema escolhido.
x^2+2 y^2+z=10 e -2 x^2-y^2+z=1.

Passo 1

O enunciado dá duas superfícies quádricas
x^2+2y^2+z=10
e
-2x^2-y^2+z=1,
queremos (1) determinar os três cilindros projetantes da curva de interseção (projeções nos planos xy, xz e yz); (2) construir, no primeiro octante, a curva comum a dois desses cilindros; (3) parametrizá-la. Para isso usaremos a técnica de eliminar variáveis entre as equações.

Passo 2

Projeção no plano xy: eliminamos z. Da primeira superfície
z = 10 - x^2 - 2y^2,
da segunda
z = 1 + 2x^2 + y^2
Igualando essas expressões para z obtemos
10 - x^2 - 2y^2 ;=;1 + 2x^2 + y^2 Longrightarrow 9 = 3x^2 + 3y^2 Longrightarrow x^2 + y^2 = 3
Portanto o cilindro projetante no plano xy é
boxedx^2+y^2=3
Projeção no plano xz: eliminamos y. Da primeira
y^2 = 10 - z - x^22,
da segunda
y^2 = z - 1 - 2x^2
Igualando
10 - z - x^22 = z - 1 - 2x^2 Longrightarrow 10 - z - x^2 = 2z - 2 - 4x^2 Longrightarrow 3z = 12 + 3x^2 Longrightarrow z = 4 + x^2
Assim o cilindro projetante no plano xz é
boxedz = 4 + x^2
Projeção no plano yz: eliminamos x. Da primeira
x^2 = 10 - z - 2y^2,
da segunda
x^2 = z - 1 - y^22
Igualando
10 - z - 2y^2 = z - 1 - y^22 Longrightarrow 20 - 2z - 4y^2 = z - 1 - y^2 Longrightarrow 3z = 21 - 3y^2 Longrightarrow z = 7 - y^2
Logo o cilindro projetante no plano yz é
boxedz = 7 - y^2

Passo 3

Vamos escolher os dois primeiros cilindros, pois eles se intersectam criando uma curva no primeiro octante ( x>=0, y>=0, z>=0). São eles:
x^2 + y^2 = 3 e z = 4 + x^2
No primeiro octante, a projeção no plano xy é o arco de círculo de raio raiz3 com x>=0, y>=0; e o valor de z fica positivo (pois 4+x^2>=4).

Passo 4

Para parametrizar essa curva, introduzimos o parâmetro tin[0,pi/2] de modo que
x = raiz3,cos t, y = raiz3,sin t,
que satisfaz x^2+y^2=3 e garante x,y>=0. Em seguida
z = 4 + x^2 = 4 + 3cos^2t
Logo a parametrização é
r(t) = l(,raiz3cos t,;raiz3sin t,;4 + 3cos^2tr), tin[0,tfracpi2]

Resposta

boxed r(t) = l(raiz3cos t,;raiz3sin t,;4 + 3cos^2tr), tinl[0,tfracpi2r]

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