Considere a superfície de equação
, onde
é uma constante real.
Para
encontre e identifique as interseções da superfície dada com os planos coordenados e com os planos
e
.
Para
Passo 1
O enunciado pede para encontrar as curvas de interseção da superfície
com os planos coordenados
,
,
e com os planos
e
. Para cada caso, vamos substituir a equação do plano na equação da superfície e reconhecer a curva resultante.
Passo 2
Interseção com o plano
. Substituindo
em
temos
Isso é a equação de uma hipérbole no plano
, com duas ramos simétricos em torno da origem e assíntotas
.
Passo 3
Interseção com o plano
. Substituindo
em
obtemos
Também é uma hipérbole, agora no plano
, com dois ramos e assíntotas
.
Passo 4
Interseção com o plano
. Substituindo
em
resulta
que é um círculo de raio
no plano
, centrado na origem.
Passo 5
Interseção com o plano
. Substituindo
em
vem
É um círculo de raio
no plano paralelo ao
à altura
.
Passo 6
Interseção com o plano
. De modo idêntico, colocando
na superfície temos
Também é um círculo de raio
, agora no plano
.
Resposta
Interseções da superfície
:
(a) com : hipérbole
;
(b) com : hipérbole
;
(c) com : círculo
, raio
;
(d) com : círculo
, raio
em
;
(e) com : círculo
, raio
em
.
(a) com
(b) com
(c) com
(d) com
(e) com