Considere a superfície de equação x^2+y^2-z^2=k, onde k é uma constante real.
Para k=4 encontre e identifique as interseções da superfície dada com os planos coordenados e com os planos z=4 e z=-4.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as curvas de interseção da superfície
x^2+y^2-z^2=4
com os planos coordenados x=0, y=0, z=0 e com os planos z=4 e z=-4. Para cada caso, vamos substituir a equação do plano na equação da superfície e reconhecer a curva resultante.

Passo 2

Interseção com o plano x=0. Substituindo x=0 em x^2+y^2-z^2=4 temos
y^2-z^2=4
Isso é a equação de uma hipérbole no plano yz, com duas ramos simétricos em torno da origem e assíntotas y=pm z.

Passo 3

Interseção com o plano y=0. Substituindo y=0 em x^2+y^2-z^2=4 obtemos
x^2-z^2=4
Também é uma hipérbole, agora no plano xz, com dois ramos e assíntotas x=pm z.

Passo 4

Interseção com o plano z=0. Substituindo z=0 em x^2+y^2-z^2=4 resulta
x^2+y^2=4,
que é um círculo de raio 2 no plano xy, centrado na origem.

Passo 5

Interseção com o plano z=4. Substituindo z=4 em x^2+y^2-z^2=4 vem
x^2+y^2-16=4 Longrightarrow x^2+y^2=20
É um círculo de raio raiz20=2raiz5 no plano paralelo ao xy à altura z=4.

Passo 6

Interseção com o plano z=-4. De modo idêntico, colocando z=-4 na superfície temos
x^2+y^2-16=4 Longrightarrow x^2+y^2=20
Também é um círculo de raio 2raiz5, agora no plano z=-4.

Resposta

Interseções da superfície x^2+y^2-z^2=4:
(a) com x=0: hipérbole y^2-z^2=4;
(b) com y=0: hipérbole x^2-z^2=4;
(c) com z=0: círculo x^2+y^2=4, raio 2;
(d) com z=4: círculo x^2+y^2=20, raio 2raiz5 em z=4;
(e) com z=-4: círculo x^2+y^2=20, raio 2raiz5 em z=-4.

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