Considere a superfície de equação x^2+y^2-z^2=k, onde k é uma constante real.
Para k=4 represente geometricamente a superfície dada.

Passo 1

O enunciado nos dá a superfície de equação
x^2+y^2-z^2=4
e pede sua representação geométrica quando a constante k=4.
O conteúdo aqui é a classificação de superfícies quadráticas em R^3 e o estudo de suas curvas de nível (interseções com planos coordenados).

Passo 2

Para classificar a superfície, observamos os sinais dos coeficientes de x^2, y^2 e z^2 na forma
x^2+y^2-z^2=4
Há dois termos positivos ( x^2 e y^2) e um termo negativo ( -z^2), e o lado direito é positivo. Por isso trata-se de um hiperbolóide de uma folha (do inglês “one-sheeted hyperboloid”) com eixo de simetria ao longo de z.

Passo 3

Analisamos as seções transversais para entender o formato:
  1. Plano z=0:
x^2+y^2=4,
que é um círculo de raio 2.
2) Plano z=z0:
x^2+y^2=4+z0^2,
um círculo de raio raiz4+z0^2. Como 4+z0^2>0 para todo z0, em qualquer altura z=z0 temos sempre um círculo, cujo raio cresce conforme |z0| aumenta.

Passo 4

Uma parametrização típica usa coordenadas cilíndricas hiperbólicas:
x= raiz4+u^2cos v, y= raiz4+u^2sin v, z= u,
onde uin(-infty,infty) e vin[0,2pi). Isso gera o mesmo conjunto de pontos de (x,y,z)mid x^2+y^2-z^2=4.

Passo 5

Geometricamente, a superfície é um “saco” único que se afina no centro (em z=0, raio mínimo 2) e vai se alargando indefinidamente para |z|toinfty. Tem simetria em torno do eixo z e também é simétrica em relação ao plano z=0.

Resposta

A superfície x^2+y^2-z^2=4 é um hiperbolóide de uma folha com eixo de revolução ao longo de z.

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