Considere a superfície de equação
, onde
é uma constante real.
Para
represente geometricamente a superfície dada.
Para
Passo 1
O enunciado nos dá a superfície de equação
e pede sua representação geométrica quando a constante
.
O conteúdo aqui é a classificação de superfícies quadráticas em e o estudo de suas curvas de nível (interseções com planos coordenados).
O conteúdo aqui é a classificação de superfícies quadráticas em
Passo 2
Para classificar a superfície, observamos os sinais dos coeficientes de
,
e
na forma
Há dois termos positivos (
e
) e um termo negativo (
), e o lado direito é positivo. Por isso trata-se de um hiperbolóide de uma folha (do inglês “one-sheeted hyperboloid”) com eixo de simetria ao longo de
.
Passo 3
Analisamos as seções transversais para entender o formato:
- Plano
:
que é um círculo de raio
.
2) Plano :
2) Plano
um círculo de raio
. Como
para todo
, em qualquer altura
temos sempre um círculo, cujo raio cresce conforme
aumenta.
Passo 4
Uma parametrização típica usa coordenadas cilíndricas hiperbólicas:
onde
e
. Isso gera o mesmo conjunto de pontos de
.
Passo 5
Geometricamente, a superfície é um “saco” único que se afina no centro (em
, raio mínimo
) e vai se alargando indefinidamente para
. Tem simetria em torno do eixo
e também é simétrica em relação ao plano
.
Resposta
A superfície
é um hiperbolóide de uma folha com eixo de revolução ao longo de
.