Seja
o conjunto das matrizes
,
tais que o produto
. Seja a operação
a adição canônica de matrizes e a operação
a multiplicação escalar canônica de matrizes.
é espaço vetorial real? Explique.
Passo 1
O enunciado define
,
com a soma usual de matrizes e multiplicação escalar usual
.
Queremos saber se é subespaço de
, isto é, se satisfaz fechamentos em soma e em multiplicação escalar (os demais axiomas herdam-se do espaço maior).
,
com a soma usual de matrizes
Queremos saber se
Passo 2
Verificamos primeiro o fechamento em multiplicação escalar. Seja
com entradas
de modo que
, e seja
. Então
cujo produto das quatro entradas é
Portanto
para todo
, e o fechamento escalar vale.
Passo 3
Agora o fechamento em soma. Tomemos
Em
temos
, e em
temos
, logo
. Mas
tem produto das entradas
, isto é,
. Logo não há fechamento em soma.