Seja V o conjunto das matrizes 2 times 2,
A=[ll a & b c & d ]
tais que o produto abcd=0. Seja a operação oplus a adição canônica de matrizes e a operação odot a multiplicação escalar canônica de matrizes. V é espaço vetorial real? Explique.

Passo 1

O enunciado define
,
com a soma usual de matrizes e multiplicação escalar usual .
Queremos saber se é subespaço de , isto é, se satisfaz fechamentos em soma e em multiplicação escalar (os demais axiomas herdam-se do espaço maior).

Passo 2

Verificamos primeiro o fechamento em multiplicação escalar. Seja Ain V com entradas a,b,c,d de modo que abcd=0, e seja lambdain R. Então
lambda A = lambda a & lambda b lambda c & lambda d ,
cujo produto das quatro entradas é
(lambda a),(lambda b),(lambda c),(lambda d) =lambda^4,(a b c d) =lambda^4cdot 0 =0
Portanto lambda Ain V para todo lambda, e o fechamento escalar vale.

Passo 3

Agora o fechamento em soma. Tomemos
A=1&00&1, B=0&11&0
Em A temos 1cdot0cdot0cdot1=0, e em B temos 0cdot1cdot1cdot0=0, logo A,Bin V. Mas
Aoplus B = 1&11&1
tem produto das entradas 1cdot1cdot1cdot1=1neq0, isto é, Aoplus Bnotin V. Logo não há fechamento em soma.

Resposta

V não é espaço vetorial real, pois falha o fechamento sob adição.

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