Determine os três cilindros projetantes das curvas de interseção das superfícies abaixo e construa, no primeiro octante (quando for possível), a curva dada pela interseção de dois dos cilindros. Caso não seja possível no primeiro, escolha outro. A seguir parametrize a curva dada pelo sistema escolhido.
e
.
Passo 1
O enunciado nos dá duas superfícies
e pede (i) os três cilindros projetantes da curva de interseção destas superfícies e (ii) no primeiro octante, construir a curva dada pela interseção de dois desses cilindros escolhidos e, por fim, parametrizá-la.
Passo 2
Cilindro projetante no plano
.
Eliminando entre
Eliminando
temos
Passo 3
Cilindro projetante no plano
.
Eliminando , basta exigir que exista
real em
. A projeção é então
Eliminando
com a condição implícita
, que leva a
.
Passo 4
Cilindro projetante no plano
.
Eliminando pelas duas expressões de
, vemos que
Eliminando
logo
Passo 5
Escolha de dois cilindros que se intersectam no primeiro octante
No primeiro octante , então podemos parametrizar a elipse no plano
por
Como
, garantimos
.
Passo 6
Construção da parametrização final.
Substituindo na segunda equação:
Substituindo na segunda equação:
Portanto a curva de interseção, no primeiro octante, fica parametrizada por
Resposta
Cilindros projetantes:
Curva de interseção escolhida (no primeiro octante) e sua parametrização: