Determine os três cilindros projetantes das curvas de interseção das superfícies abaixo e construa, no primeiro octante (quando for possível), a curva dada pela interseção de dois dos cilindros. Caso não seja possível no primeiro, escolha outro. A seguir parametrize a curva dada pelo sistema escolhido.
x+z^2=4 e x=3 z^2+y^2.

Passo 1

O enunciado nos dá duas superfícies
S1:;x+z^2=4 e S2:;x=3z^2+y^2
e pede (i) os três cilindros projetantes da curva de interseção destas superfícies e (ii) no primeiro octante, construir a curva dada pela interseção de dois desses cilindros escolhidos e, por fim, parametrizá-la.

Passo 2

Cilindro projetante no plano yz.
Eliminando x entre
x=4-z^2 e x=3z^2+y^2
temos
y^2+4z^2=4

Passo 3

Cilindro projetante no plano xz.
Eliminando y, basta exigir que exista y real em x=3z^2+y^2. A projeção é então
x+z^2=4,
com a condição implícita ,3z^2<= x, que leva a ,z^2<=1.

Passo 4

Cilindro projetante no plano xy.
Eliminando z pelas duas expressões de x, vemos que
z^2=4-x Longrightarrow x=3z^2+y^2=3(4-x)+y^2
logo
x=3+y^24

Passo 5

Escolha de dois cilindros que se intersectam no primeiro octante
No primeiro octante , então podemos parametrizar a elipse no plano por
Como , garantimos .

Passo 6

Construção da parametrização final.
Substituindo na segunda equação:
x=4-sin^2 t
Portanto a curva de interseção, no primeiro octante, fica parametrizada por
r(t) =l(x(t),y(t),z(t)r) =l(4-sin^2 t,;2cos t,;sin tr), tinl[0,tfracpi2r]

Resposta

Cilindros projetantes:
&plano yz: y^2+4z^2=4, &plano xz: x+z^2=4, &plano xy: x=3+y^24
Curva de interseção escolhida (no primeiro octante) e sua parametrização:
r(t) =l(4-sin^2 t,;2cos t,;sin tr), tinl[0,tfracpi2r]

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