Considere a superfície S de equação x^2+y^2+z=1. Se a reta normal pelo ponto (a, b, c) da superfície passa por (0,0,0) o que podemos dizer de c ?
(a) c=0
(b) c=2
(c) c=-12
(d) Não é possível especificar o valor de c.
(e) Nenhuma das alternativas acima.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma superfície definida pela equação x^2 + y^2 + z = 1 . Precisamos descobrir o valor de c no ponto (a, b, c) dessa superfície, sabendo que a reta normal nesse ponto passa pela origem (0, 0, 0) .
Aqui, estamos lidando com conceitos de geometria analítica e cálculo vetorial, especificamente com vetores normais a superfícies. Vamos precisar entender como determinar a reta normal a uma superfície em um ponto específico e como essa reta se relaciona com outro ponto no espaço, no caso, a origem.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o vetor normal à superfície no ponto (a, b, c) . Para isso, usamos o gradiente da função que define a superfície. A superfície é dada por F(x, y, z) = x^2 + y^2 + z - 1 = 0 .
O vetor gradiente de F , denotado por nabla F , é calculado derivando parcialmente F em relação a cada variável:
nabla F = ( partial Fpartial x, partial Fpartial y, partial Fpartial z ) = (2x, 2y, 1)
Portanto, no ponto (a, b, c) , o vetor normal é nabla F(a, b, c) = (2a, 2b, 1) .

Passo 3

Agora, vamos determinar a equação paramétrica da reta normal à superfície no ponto [(a, b, c)). A equação de uma reta no espaço, sabendo um ponto e um vetor diretor , é dada por:
Aplicando isso ao nosso caso, onde , temos:

Passo 4

Sabemos que a reta normal passa pela origem [(0, 0, 0)). Isso significa que existe um valor de que satisfaz as equações:
Vamos resolver essas equações para encontrar .

Passo 5

Primeiro, observamos a terceira equação:
0 = c + t Rightarrow t = -c
Agora, substituímos t = -c na primeira equação:
0 = a + 2a (-c) Rightarrow 0 = a - 2a c Rightarrow a(1 - 2c) = 0
Se a neq 0 , então 1 - 2c = 0 , o que implica c = 12 .
No entanto, também precisamos verificar a segunda equação:
0 = b + 2b t Rightarrow 0 = b + 2b (-c) Rightarrow 0 = b(1 - 2c)
Da mesma forma, se b neq 0 , então 1 - 2c = 0 , o que novamente nos dá c = 12 .

Passo 6

Concluímos que, para que a reta normal passe pela origem, c deve ser igual a 12 . Agora, vamos verificar as alternativas apresentadas no exercício:
(a) c = 0
(b) c = 2
(c) c = -12
(d) Não é possível especificar o valor de c
(e) Nenhuma das alternativas acima
Como nosso cálculo resultou em c = 12 , que não está entre as opções (a) a (d), a resposta correta é a opção (e).

Resposta

(e) Nenhuma das alternativas acima.

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