Considere a superfície de equação . Se a reta normal pelo ponto da superfície passa por o que podemos dizer de ?
(a)
(b)
(c)
(d) Não é possível especificar o valor de .
(e) Nenhuma das alternativas acima.
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma superfície definida pela equação . Precisamos descobrir o valor de no ponto dessa superfície, sabendo que a reta normal nesse ponto passa pela origem .
Aqui, estamos lidando com conceitos de geometria analítica e cálculo vetorial, especificamente com vetores normais a superfícies. Vamos precisar entender como determinar a reta normal a uma superfície em um ponto específico e como essa reta se relaciona com outro ponto no espaço, no caso, a origem.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o vetor normal à superfície no ponto . Para isso, usamos o gradiente da função que define a superfície. A superfície é dada por .
O vetor gradiente de , denotado por , é calculado derivando parcialmente em relação a cada variável:
Portanto, no ponto , o vetor normal é .
Passo 3
Agora, vamos determinar a equação paramétrica da reta normal à superfície no ponto [(a, b, c)). A equação de uma reta no espaço, sabendo um ponto e um vetor diretor , é dada por:
Aplicando isso ao nosso caso, onde , temos:
Passo 4
Sabemos que a reta normal passa pela origem [(0, 0, 0)). Isso significa que existe um valor de que satisfaz as equações:
Vamos resolver essas equações para encontrar .
Passo 5
Primeiro, observamos a terceira equação:
0 = c + t Rightarrow t = -c
Agora, substituímos t = -c na primeira equação:
0 = a + 2a (-c) Rightarrow 0 = a - 2a c Rightarrow a(1 - 2c) = 0
Se a neq 0 , então 1 - 2c = 0 , o que implica c = 12 .
No entanto, também precisamos verificar a segunda equação:
0 = b + 2b t Rightarrow 0 = b + 2b (-c) Rightarrow 0 = b(1 - 2c)
Da mesma forma, se b neq 0 , então 1 - 2c = 0 , o que novamente nos dá c = 12 .
Passo 6
Concluímos que, para que a reta normal passe pela origem, c deve ser igual a 12 . Agora, vamos verificar as alternativas apresentadas no exercício:
(a) c = 0
(b) c = 2
(c) c = -12
(d) Não é possível especificar o valor de c
(e) Nenhuma das alternativas acima
Como nosso cálculo resultou em c = 12 , que não está entre as opções (a) a (d), a resposta correta é a opção (e).