Encontre o extremal de V[y]=integral1^2[y+t y^prime-(y^prime)^2] d t sujeito a y(1)=3 e y(2)=4 e classifique-o como maximal ou minimal.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo das variações juntos! A questão pede para encontrar a extremal da função funcional V[y] = integral1^2[y + t y' - (y')^2] dt , sujeita às condições y(1) = 3 e y(2) = 4 . Vamos usar os conceitos de cálculo das variações, especificamente a equação de Euler-Lagrange, para encontrar a função y(t) que maximiza ou minimiza V[y] .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função que está dentro da integral, ou seja, a Lagrangiana L . No nosso caso, L = y + t y' - (y')^2 . A equação de Euler-Lagrange nos ajuda a encontrar a condição que y(t) deve satisfazer para que V[y] seja extremizado.

Passo 3

A equação de Euler-Lagrange é dada por:
partial Lpartial y - ddt(partial Lpartial y') = 0
Vamos calcular cada termo separadamente.

Passo 4

Primeiro, encontramos partial Lpartial y . Como L = y + t y' - (y')^2 , derivando em relação a y :
partial Lpartial y = 1

Passo 5

Agora, calculamos partial Lpartial y' :
partial Lpartial y' = t - 2 y'
Em seguida, derivamos isso em relação a t :
ddt(partial Lpartial y') = ddt(t - 2 y') = 1 - 2 y''

Passo 6

Substituindo na equação de Euler-Lagrange:
1 - (1 - 2 y'') = 0 implies 2 y'' = 0 implies y'' = 0
Isso significa que a segunda derivada de y em relação a t é zero.

Passo 7

Integrando y'' = 0 uma vez em relação a t , obtemos:
y' = C
Onde C é uma constante de integração. Integramos novamente:
y(t) = C t + D
Onde D é outra constante de integração.

Passo 8

Agora, aplicamos as condições de contorno para encontrar C e D :
y(1) = 3 implies C cdot 1 + D = 3 (1)
y(2) = 4 implies C cdot 2 + D = 4 (2)
Resolvendo o sistema de equações:
Subtraindo a equação (1) da equação (2):
2C + D - (C + D) = 4 - 3 implies C = 1
Substituindo C = 1 na equação (1):
1 + D = 3 implies D = 2

Passo 9

Portanto, a função extremal é:
y(t) = t + 2

Passo 10

Para classificar a extremal como maximal ou minimal, analisamos a segunda variação. A função referente à segunda variação é de<a^2 V = integral1^2 [ - (de<a y')^2 ] dt . Como o termo - (de<a y')^2 é sempre negativo ou zero, a segunda variação é negativa ou nula, indicando que a extremal encontrada é um ponto de máximo.

Resposta

A função extremal é y(t) = t + 2 e ela é um ponto de máximo para o funcional dado.

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