Encontre o extremal de
sujeito a
e
e classifique-o como maximal ou minimal.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo das variações juntos! A questão pede para encontrar a extremal da função funcional
, sujeita às condições
e
. Vamos usar os conceitos de cálculo das variações, especificamente a equação de Euler-Lagrange, para encontrar a função
que maximiza ou minimiza
.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a função que está dentro da integral, ou seja, a Lagrangiana
. No nosso caso,
. A equação de Euler-Lagrange nos ajuda a encontrar a condição que
deve satisfazer para que
seja extremizado.
Passo 3
A equação de Euler-Lagrange é dada por:
Vamos calcular cada termo separadamente.
Passo 4
Primeiro, encontramos
. Como
, derivando em relação a
:
Passo 5
Agora, calculamos
:
Em seguida, derivamos isso em relação a
:
Passo 6
Substituindo na equação de Euler-Lagrange:
Isso significa que a segunda derivada de
em relação a
é zero.
Passo 7
Integrando
uma vez em relação a
, obtemos:
Onde
é uma constante de integração. Integramos novamente:
Onde
é outra constante de integração.
Passo 8
Agora, aplicamos as condições de contorno para encontrar
e
:
Resolvendo o sistema de equações:
Subtraindo a equação (1) da equação (2):
Substituindo
na equação (1):
Passo 9
Portanto, a função extremal é:
Passo 10
Para classificar a extremal como maximal ou minimal, analisamos a segunda variação. A função referente à segunda variação é
. Como o termo
é sempre negativo ou zero, a segunda variação é negativa ou nula, indicando que a extremal encontrada é um ponto de máximo.
Resposta
A função extremal é
e ela é um ponto de máximo para o funcional dado.