Seja E o conjunto das retas de um plano
. Quais das relações abaixo definidas são relações de equivalência em E ?
a) xRy se, e somente se,
;
b)
se, e somente se, x perpendicular a
.
a) xRy se, e somente se,
b)
Passo 1
O enunciado apresenta o conjunto
de todas as retas de um plano
e duas relações em
:
-
se, e somente se, . -
se, e somente se, .
Queremos saber quais dessas relações são de equivalência. Para isso usamos o conceito de relação de equivalência, que exige três propriedades:
- Reflexividade: todo elemento se relaciona consigo mesmo.
- Simetria: se um elemento se relaciona a outro, então o segundo se relaciona ao primeiro.
- Transitividade: se um elemento se relaciona a um segundo, e este ao terceiro, então o primeiro se relaciona ao terceiro.
Passo 2
Verificando
(paralelismo):
– Reflexiva: toda reta é paralela a si própria, pois não há ângulo entre
e
.
– Simétrica: se , então certamente
.
– Transitiva: se e
, então
.
– Reflexiva: toda reta
– Simétrica: se
– Transitiva: se
Como as três propriedades valem,
é relação de equivalência.
Passo 3
Verificando
(perpendicularidade):
– Reflexiva: uma reta não é perpendicular a si mesma, pois precisaria formar um ângulo de
consigo mesma, o que não faz sentido. Logo, falha a reflexividade.
– Mesmo que fosse simétrica ( implica
), a falta de reflexividade já impede ser equivalência. Além disso, a perpendicularidade não é transitiva (se
e
, então geralmente
, não
).
– Reflexiva: uma reta
– Mesmo que fosse simétrica (
Portanto,
não é relação de equivalência.
Resposta
Apenas a relação
definida por
sse
é relação de equivalência;
não é.