Seja E o conjunto das retas de um plano alpha. Quais das relações abaixo definidas são relações de equivalência em E ?
a) xRy se, e somente se, x | y;
b) x S y se, e somente se, x perpendicular a y.

Passo 1

O enunciado apresenta o conjunto E de todas as retas de um plano alpha e duas relações em E:
  1. xRy se, e somente se, xparal<=l y.
  2. xSy se, e somente se, xperp y.
Queremos saber quais dessas relações são de equivalência. Para isso usamos o conceito de relação de equivalência, que exige três propriedades:
  • Reflexividade: todo elemento se relaciona consigo mesmo.
  • Simetria: se um elemento se relaciona a outro, então o segundo se relaciona ao primeiro.
  • Transitividade: se um elemento se relaciona a um segundo, e este ao terceiro, então o primeiro se relaciona ao terceiro.

Passo 2

Verificando R (paralelismo):
– Reflexiva: toda reta x é paralela a si própria, pois não há ângulo entre x e x.
– Simétrica: se xparal<=l y, então certamente yparal<=l x.
– Transitiva: se xparal<=l y e yparal<=l z, então xparal<=l z.
Como as três propriedades valem, R é relação de equivalência.

Passo 3

Verificando S (perpendicularidade):
– Reflexiva: uma reta x não é perpendicular a si mesma, pois precisaria formar um ângulo de 90^circ consigo mesma, o que não faz sentido. Logo, falha a reflexividade.
– Mesmo que fosse simétrica ( xperp y implica yperp x), a falta de reflexividade já impede ser equivalência. Além disso, a perpendicularidade não é transitiva (se xperp y e yperp z, então geralmente xparal<=l z, não xperp z).
Portanto, S não é relação de equivalência.

Resposta

Apenas a relação R definida por xRy sse xparal<=l y é relação de equivalência; S não é.

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