Encontre os vértices (ou vértice), os focos (ou foco) e a excentricidade de cada uma das cônicas e esboce o gráfico.
Passo 1
Beleza, então vamos lá! Você me pediu para encontrar os vértices, os focos e a excentricidade da cônica representada pela equação
, além de esboçar o gráfico dela. A gente vai trabalhar com o estudo das cônicas, especificamente uma parábola, já que a equação tem apenas o
e é de segundo grau em
. Vamos precisar usar uns conceitos básicos de geometria analítica para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos arrumar a equação para ficar mais fácil de identificar os elementos da parábola. Vamos isolar o
:
Subtraindo
de ambos os lados:
Agora, dividindo tudo por 9 para deixar o
sozinho:
Passo 3
Agora que temos a equação na forma
, podemos identificar que é uma parábola que abre para baixo porque o coeficiente de
(
) é negativo.
Passo 4
Vamos encontrar o vértice da parábola. Na forma
, o vértice está no ponto
. Aqui,
, então o vértice é:
Passo 5
Para achar o foco da parábola, usamos a fórmula da distância do vértice ao foco, que é
. Aqui,
, então:
Como a parábola abre para baixo, o foco fica abaixo do vértice. Assim, as coordenadas do foco são:
Passo 6
Agora, vamos calcular a excentricidade da parábola. Para parábolas, a excentricidade
é sempre 1. A excentricidade mede a “achatamento” da cônica e, no caso das parábolas, elas são abertas de forma única, sem estar fechadas como elipses ou hipérboles.
Passo 7
Por fim, vamos esboçar o gráfico. Sabemos que a parábola tem vértice em
, abre para baixo, e o foco está em
. O eixo de simetria é o eixo
. Vamos desenhar a parábola com esses pontos como referência.
Resposta
Vértice:
Foco:
Excentricidade:
O gráfico é uma parábola que abre para baixo com o vértice em e foco em
.
Foco:
Excentricidade:
O gráfico é uma parábola que abre para baixo com o vértice em