Encontre os vértices (ou vértice), os focos (ou foco) e a excentricidade de cada uma das cônicas e esboce o gráfico.
4x^2+9y=144

Passo 1

Beleza, então vamos lá! Você me pediu para encontrar os vértices, os focos e a excentricidade da cônica representada pela equação 4x^2 + 9y = 144, além de esboçar o gráfico dela. A gente vai trabalhar com o estudo das cônicas, especificamente uma parábola, já que a equação tem apenas o x^2 e é de segundo grau em x. Vamos precisar usar uns conceitos básicos de geometria analítica para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos arrumar a equação para ficar mais fácil de identificar os elementos da parábola. Vamos isolar o y:
4x^2 + 9y = 144
Subtraindo 4x^2 de ambos os lados:
9y = -4x^2 + 144
Agora, dividindo tudo por 9 para deixar o y sozinho:
y = -49x^2 + 16

Passo 3

Agora que temos a equação na forma y = ax^2 + c, podemos identificar que é uma parábola que abre para baixo porque o coeficiente de x^2 ( -49) é negativo.

Passo 4

Vamos encontrar o vértice da parábola. Na forma y = ax^2 + c, o vértice está no ponto (0, c). Aqui, c = 16, então o vértice é:
(0, 16)

Passo 5

Para achar o foco da parábola, usamos a fórmula da distância do vértice ao foco, que é 14|a| . Aqui, a = -49, então:
14|49| = 1169 = 916
Como a parábola abre para baixo, o foco fica abaixo do vértice. Assim, as coordenadas do foco são:
(0, 16 - 916) = (0, 25616 - 916) = (0, 24716) approx (0, 15.44)

Passo 6

Agora, vamos calcular a excentricidade da parábola. Para parábolas, a excentricidade e é sempre 1. A excentricidade mede a “achatamento” da cônica e, no caso das parábolas, elas são abertas de forma única, sem estar fechadas como elipses ou hipérboles.

Passo 7

Por fim, vamos esboçar o gráfico. Sabemos que a parábola tem vértice em (0, 16), abre para baixo, e o foco está em (0, 15.44). O eixo de simetria é o eixo y. Vamos desenhar a parábola com esses pontos como referência.

Resposta

Vértice: (0, 16)
Foco: (0, 24716) approx (0, 15.44)
Excentricidade: e = 1
O gráfico é uma parábola que abre para baixo com o vértice em (0, 16) e foco em (0, 24716).

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