Determine um vetor normal para esta superfície no ponto .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma superfície parametrizada pela função . O que a gente precisa fazer é encontrar um vetor normal a essa superfície no ponto específico , que corresponde aos valores de e .
Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especialmente sobre vetores normais em superfícies parametrizadas. Precisamos calcular as derivadas parciais da função em relação a e , e depois encontrar o produto vetorial dessas derivadas, que nos dará o vetor normal desejado.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e .
A derivada parcial em relação a () é:
Calculando cada componente:
Analogamente, a derivada parcial em relação a () é:
Calculando cada componente:
Passo 3
Agora, vamos substituir os valores e nas derivadas parciais que encontramos.
Para :
Para :
Passo 4
Agora que temos e no ponto , vamos calcular o produto vetorial desses dois vetores. O produto vetorial entre e nos dá o vetor normal à superfície nesse ponto.
O produto vetorial é calculado da seguinte forma:
Calculando o determinante:
ru times rv = i(1 times 3 - 4 times 1) - j(4 times 3 - 4 times 2) + k(4 times 1 - 1 times 2)
= i(3 - 4) - j(12 - 8) + k(4 - 2)
= i(-1) - j(4) + k(2)
= (-1, -4, 2)
Resposta
Um vetor normal à superfície no ponto (3,1,1) é (-1, -4, 2).