Considere uma superfície parametrizada dada por:
r(u, v)=(u^2-v^2, u+v, u^2+3 v)
Determine um vetor normal para esta superfície no ponto (3,1,1)=r(2,-1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma superfície parametrizada pela função r(u, v) = (u^2 - v^2, u + v, u^2 + 3v). O que a gente precisa fazer é encontrar um vetor normal a essa superfície no ponto específico (3,1,1), que corresponde aos valores de u = 2 e v = -1.
Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especialmente sobre vetores normais em superfícies parametrizadas. Precisamos calcular as derivadas parciais da função r(u, v) em relação a u e v, e depois encontrar o produto vetorial dessas derivadas, que nos dará o vetor normal desejado.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de r(u, v) em relação a u e v.
A derivada parcial em relação a u ( ru) é:
ru = partial rpartial u = (partialpartial u(u^2 - v^2), partialpartial u(u + v), partialpartial u(u^2 + 3v))
Calculando cada componente:
ru = (2u, 1, 2u)
Analogamente, a derivada parcial em relação a v ( rv) é:
rv = partial rpartial v = (partialpartial v(u^2 - v^2), partialpartial v(u + v), partialpartial v(u^2 + 3v))
Calculando cada componente:
rv = (-2v, 1, 3)

Passo 3

Agora, vamos substituir os valores u = 2 e v = -1 nas derivadas parciais que encontramos.
Para ru:
ru = (2 times 2, 1, 2 times 2) = (4, 1, 4)
Para rv:
rv = (-2 times (-1), 1, 3) = (2, 1, 3)

Passo 4

Agora que temos ru e rv no ponto (u, v) = (2, -1), vamos calcular o produto vetorial desses dois vetores. O produto vetorial entre ru e rv nos dá o vetor normal à superfície nesse ponto.
O produto vetorial é calculado da seguinte forma:
ru times rv = i & j & k 4 & 1 & 4 2 & 1 & 3
Calculando o determinante:
ru times rv = i(1 times 3 - 4 times 1) - j(4 times 3 - 4 times 2) + k(4 times 1 - 1 times 2)
= i(3 - 4) - j(12 - 8) + k(4 - 2)
= i(-1) - j(4) + k(2)
= (-1, -4, 2)

Resposta

Um vetor normal à superfície no ponto (3,1,1) é (-1, -4, 2).

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