Considere uma superfície parametrizada dada por:
r(u, v)=(u^2-v^2, u+v, u^2+3 v)
Encontre uma equação para o plano tangente a esta superfície no ponto ( 3,1,1 ).

Passo 1

O enunciado nos dá uma superfície parametrizada por
r(u,v) = l(u^2 - v^2,;u + v,;u^2 + 3vr)
e pede o plano tangente no ponto (3,1,1). Vamos usar cálculo de plano tangente a superfície paramétrica: 1) encontrar (u0,v0) tal que r(u0,v0)=(3,1,1); 2) calcular os vetores tangentes ru e rv; 3) achar a normal pelo produto vetorial; 4) montar ncdot(X-r(u0,v0))=0.

Passo 2

Procuramos
Das duas primeiras equações vem
substituindo em e então . A terceira equação confirma
logo .

Passo 3

Calculamos os vetores tangentes
ru(u,v) = (2u,,1,,2u), rv(u,v) = (-2v,,1,,3),
e avaliamos em (2,-1):
ru(2,-1) = (4,,1,,4), rv(2,-1) = (2,,1,,3)

Passo 4

O vetor normal ao plano tangente é o produto vetorial
n = ru(2,-1)times rv(2,-1) = l(-1,,-4,,2r)
Podemos simplificar a direção trocando o sinal e usar
n=(1,4,-2).

Passo 5

A equação do plano tangente satisfaz
ncdotl((x,y,z)-(3,1,1)r)=0,
ou seja
1,(x-3) + 4,(y-1) - 2,(z-1) = 0 Longrightarrow x + 4y - 2z - 5 = 0

Resposta

x + 4y - 2z - 5 = 0

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