A solução da EDO \frac{d y}{d x}=\left(\frac{2 y+3}{4 x+5}\right)^{2} é (por variável separável:
A) y=(e^-2 x) / 2+c
B) 2(y+1)^-1=(x+5)^-1+c
C) (2 y+3)^-2=(4 y+5 x)^-1+c
D) (y+3)^-1=(x+5)^-1+c
E) 2(2 y+3)^-1=(4 x+5)^-1+c

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO
dydx=l(2y+34x+5r)^2
e pede a solução geral por separação de variáveis. Vamos ver que é só isolar y de um lado e x do outro, integrar e arrumar a constante.

Passo 2

Separamos as variáveis escrevendo
dy(2y+3)^2=dx(4x+5)^2
Aqui passamos (2y+3)^2 para o denominador do dy e (4x+5)^2 para o denominador do dx.

Passo 3

Integramos cada lado:
integral dy(2y+3)^2 = integral dx(4x+5)^2
No lado esquerdo use a substituição u=2y+3, du=2,dy, logo
integral dy(2y+3)^2 =12integral u^-2,du =-12u =-12(2y+3)
No lado direito use v=4x+5, dv=4,dx, logo
integral dx(4x+5)^2 =14integral v^-2,dv =-14v =-14(4x+5)

Passo 4

Igualamos as primitivadas e juntamos a constante C:
-12(2y+3) =-14(4x+5)+C
Multiplicando tudo por -1:
12(2y+3) =14(4x+5)-C
Renomeando -C como constante genérica, escrevemos
12(2y+3) =14(4x+5)+C1

Passo 5

Multiplicando ambos os lados por 2, obtemos
22y+3 =14x+5+C2,
que é exatamente a forma da alternativa E:
2(2y+3)^-1=(4x+5)^-1+c

Resposta

E) 2(2y+3)^-1=(4x+5)^-1+c

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