Nos problemas a seguir, determine o(s) intervalo(s) em que a concavidade é para cima, o(s) intervalo(s) em que ela é pra baixo e todos os pontos de inflexão, se existirem.
g(t)=t^2-1t

Passo 1

O enunciado pede para achar, para a função
g(t) = t^2 - 1t,
os intervalos em que sua concavidade é para cima, para baixo, e os pontos de inflexão. Isso envolve calcular a segunda derivada, estudar seu sinal em cada intervalo do domínio e identificar onde ela muda de sinal. Note que o domínio de g é
(-infty,0)cup(0,infty),
pois tneq0.

Passo 2

Vamos obter as derivadas. Primeiro, a primeira derivada:
g'(t) = ddtl(t^2r) - ddtl(t^-1r) = 2t + t^-2
Agora a segunda derivada:
g''(t) = ddtl(2t + t^-2r) = 2 - 2,t^-3 = 2 - 2t^3 = 2l(1 - 1t^3r)

Passo 3

Determinamos onde g''(t)=0:
2l(1 - 1t^3r)=0 Longrightarrow 1 - 1t^3=0 Longrightarrow t^3=1 Longrightarrow t=1
Esse é o único candidato a ponto de inflexão dentro do domínio (fora t=0, onde a função não existe).

Passo 4

Estudamos o sinal de g''(t) em cada intervalo do domínio:
Para t<0, temos t^3<0 então 1-tfrac1t^3>1, logo g''(t)>0. Portanto é côncavo para cima em (-infty,0).
Para 0<t<1, temos 0<t^3<1 então tfrac1t^3>1 e 1-tfrac1t^3<0, logo g''(t)<0. Portanto é côncavo para baixo em (0,1).
Para t>1, temos t^3>1 então tfrac1t^3<1 e 1-tfrac1t^3>0, logo g''(t)>0. Portanto é côncavo para cima em (1,infty).

Resposta

A concavidade de g é
para cima em (-infty,0) e em (1,infty),
para baixo em (0,1),
e há ponto de inflexão em t=1.

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