Nos problemas a seguir, determine o(s) intervalo(s) em que a concavidade é para cima, o(s) intervalo(s) em que ela é pra baixo e todos os pontos de inflexão, se existirem.
Passo 1
O enunciado pede para achar, para a função
os intervalos em que sua concavidade é para cima, para baixo, e os pontos de inflexão. Isso envolve calcular a segunda derivada, estudar seu sinal em cada intervalo do domínio e identificar onde ela muda de sinal. Note que o domínio de
é
pois
.
Passo 2
Vamos obter as derivadas. Primeiro, a primeira derivada:
Agora a segunda derivada:
Passo 3
Determinamos onde
:
Esse é o único candidato a ponto de inflexão dentro do domínio (fora
, onde a função não existe).
Passo 4
Estudamos o sinal de
em cada intervalo do domínio:
Para
, temos
então
, logo
. Portanto é côncavo para cima em
.
Para
, temos
então
e
, logo
. Portanto é côncavo para baixo em
.
Para
, temos
então
e
, logo
. Portanto é côncavo para cima em
.
Resposta
A concavidade de
é
para cima em e em
,
para baixo em ,
e há ponto de inflexão em .
para cima em
para baixo em
e há ponto de inflexão em