Suponha que, em certa cidade, M(r) milhares de novas casas serão construídas se a taxa fixa de juros para um financiamento em 30 anos for r %, em que
M(r)=1+0,02 r1+0,009 r^2
Qual é a taxa de juros r para a qual a taxa de construção de novas casas é mínima?

Passo 1

O enunciado nos dá a função
M(r)=1+0,02,r1+0,009,r^2,
em que r>=0 é a taxa de juros em porcentagem, e pede o valor de r que torna M(r) mínima. Vamos usar derivada para encontrar pontos críticos e depois analisar o comportamento da função para ver onde ocorre o mínimo.

Passo 2

Calculemos a derivada de M(r) usando a regra do quociente:
M'(r) =(1+0,009r^2)cdot(0,02)-(1+0,02r)cdot(0,009cdot2r)(1+0,009r^2)^2
O numerador é
N(r)=0,02,(1+0,009r^2)-0,018r,(1+0,02r) =0,02-0,018r-0,00018r^2
Para pontos críticos, impomos N(r)=0.

Passo 3

Resolvendo
0,02-0,018r-0,00018r^2=0 Longrightarrow 0,00018r^2+0,018r-0,02=0
Multiplicando por 1000 obtemos
0,18r^2+18r-20=0 Longrightarrow 9r^2+900r-1000=0
A solução positiva é
r=-900+raiz900^2+4cdot9cdot100018 approx1,04

Passo 4

Para identificar se esse ponto é mínimo ou máximo, note que para r muito grande temos
M(r)sim0,02,r0,009,r^2=0,020,009,rto0,
ou seja, M(r) decresce para zero à medida que rtoinfty. Por outro lado, perto de r=0 a derivada M'(0)=0,02>0 mostra que M inicialmente cresce, e só depois de rapprox1,04 passa a decrescer. Logo, rapprox1,04 é ponto de máximo local, não de mínimo. O valor de M(r) diminui sem limite conforme r cresce.

Resposta

Não existe taxa finita que minimize M(r); a construção de novas casas tende a zero quando rtoinfty.

Exercícios relacionados