Suponha que, em certa cidade,
milhares de novas casas serão construídas se a taxa fixa de juros para um financiamento em 30 anos for
, em que
Qual é a taxa de juros r para a qual a taxa de construção de novas casas é mínima?
Passo 1
O enunciado nos dá a função
em que
é a taxa de juros em porcentagem, e pede o valor de
que torna
mínima. Vamos usar derivada para encontrar pontos críticos e depois analisar o comportamento da função para ver onde ocorre o mínimo.
Passo 2
Calculemos a derivada de
usando a regra do quociente:
O numerador é
Para pontos críticos, impomos
.
Passo 3
Resolvendo
Multiplicando por
obtemos
A solução positiva é
Passo 4
Para identificar se esse ponto é mínimo ou máximo, note que para
muito grande temos
ou seja,
decresce para zero à medida que
. Por outro lado, perto de
a derivada
mostra que
inicialmente cresce, e só depois de
passa a decrescer. Logo,
é ponto de máximo local, não de mínimo. O valor de
diminui sem limite conforme
cresce.
Resposta
Não existe taxa finita que minimize
; a construção de novas casas tende a zero quando
.