Uma firma pretende adquirir uma unidade trocadora de calor disponível por \ 30.000 e estima-se que possa vende-lo por$35.000 após 8 anos. Considerando uma taxa de retorno deó15 %$, qual deve ser o benefício anual para justificar a aquisição? (Newnan; Eschenbach; Lavelle, 2012) (R. : 4.135,75)

Passo 1

O enunciado diz que a firma paga hoje \$30\,000 (investimento inicial) e daqui a 8 anos vai receber \$35\,000 (valor de revenda). A taxa de retorno exigida é de 15\% ao ano. Queremos encontrar o benefício uniforme anual R cujo valor presente líquido (VPL) seja zero. O conteúdo necessário é o cálculo de valor presente de um montante único e de uma anuidade uniforme.

Passo 2

Escrevemos a condição de VPL igual a zero, juntando o investimento, o benefício anual e o valor de revenda:
-30\,000 + R\cdot\bigl(P/A,15\%,8\bigr) + 35\,000\cdot\bigl(P/F,15\%,8\bigr) = 0.

Passo 3

Calculamos o fator de valor presente de um montante único:
(P/F,15\%,8) = (1+0,15)^{-8}.
Primeiro calculamos (1+0,15)^8:
1{,}15^2 = 1{,}3225,\quad 1{,}15^4 = 1{,}3225^2 \approx 1{,}7492,\quad 1{,}15^8 = 1{,}7492^2 \approx 3{,}0597.
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(P/F,15\%,8) = \frac{1}{3{,}0597}\approx 0{,}3269.

Passo 4

Calculamos o fator de valor presente de uma anuidade uniforme de 8 anos:
(P/A,15\%,8) = \frac{(1+0,15)^8 - 1}{0,15\,(1+0,15)^8} = \frac{3{,}0597 - 1}{0{,}15 \times 3{,}0597} = \frac{2{,}0597}{0{,}45896} \approx 4{,}4880.

Passo 5

Substituímos os fatores na equação do VPL e isolamos R:
-30\,000 + R\,(4{,}4880) + 35\,000\,(0{,}3269) = 0 \quad\Longrightarrow\quad R = \frac{30\,000 - 35\,000\times0{,}3269}{4{,}4880}.
Calculando numericamente:
35\,000\times0{,}3269 \approx 11\,441,5, \quad 30\,000 - 11\,441,5 = 18\,558,5, \quad R = \frac{18\,558,5}{4{,}4880}\approx 4\,135,75.

Resposta

O benefício anual deve ser aproximadamente \$4\,135{,}75.

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