Use o Primeiro Teorema da Translação (eixo s ) para encontrar F(s) ou f(t), conforme indicado. Explique como usou o teorema.
\mathcal{L}\left\{e^{-2 t} \cos 4 t\right\}

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace da função \displaystyle e^{-2t}\cos4t. O conteúdo aqui é a transformada de Laplace e o uso do Primeiro Teorema da Translação no eixo s, que permite tratar o fator e^{-at} como um deslocamento em s.

Passo 2

Primeiro, lembramos a transformada de Laplace básica
\mathcal{L}\{\cos4t\}(s) =\frac{s}{s^2+4^2} =\frac{s}{s^2+16}.

Passo 3

O Primeiro Teorema da Translação no eixo s afirma que, se
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=F(s),
então
\mathcal{L}\{e^{-at}f(t)\}(s)=F(s+a).
Aqui temos a=2 e f(t)=\cos4t, cuja transformada é F(s)=s/(s^2+16). Logo,
\mathcal{L}\{e^{-2t}\cos4t\}(s) =F(s+2) =\frac{s+2}{(s+2)^2+16}.

Passo 4

Podemos apenas expandir o denominador para deixar em forma polinomial no s:
(s+2)^2+16 =s^2+4s+4+16 =s^2+4s+20.

Resposta

\mathcal{L}\{e^{-2t}\cos4t\}(s) =\frac{s+2}{s^2+4s+20}.

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