O enunciado dá a função f(x,y)=x^{1/3}y^{1/3} e pede quatro coisas separadas:
(a) Mostrar que \,f_{x}(0,0)=0=f_{y}(0,0) calculando as derivadas parciais pela definição (ou seja, como limites unidimensionais);
(b) Calcular a expressão
Observação didática curta: aqui usamos que 0^{1/3}=0 e que, ao fixar a outra variável igual a zero, o numerador fica identicamente zero, o que torna o quociente zero para todo passo não nulo, então o limite é zero. Isso é o jeito direto e sagaz de calcular derivadas parciais pela definição quando uma das variáveis é zerada.
Passo 3
Calcular a expressão pedida usando os resultados de f_{x}(0,0) e f_{y}(0,0).
Começamos substituindo f(0,0)=0 e f_{x}(0,0)=f_{y}(0,0)=0 na expressão:
Estudar o limite da expressão encontrada quando (\Delta x,\Delta y)\to(0,0).
Primeira observação: se um dos incrementos for zero (por exemplo \Delta x=0 ou \Delta y=0), o numerador é zero e a expressão vale 0. Então ao longo dos eixos a razão tende a 0.
Agora considere uma reta geral passando pela origem: ponha \Delta x=\Delta y=t com t\to 0. Substituindo:
Como |t|^{-1/3}\to +\infty quando t\to 0, a expressão não tende a 0 ao longo da reta \Delta y=\Delta x; em vez disso, o módulo diverge para +\infty. Assim, ao longo dessa direção a razão fica arbitrariamente grande quando nos aproximamos da origem.
Uma forma mais sistemática: escrever em coordenadas polares (com r\ge 0 e \theta fixo),
\Delta x = r\cos\theta,\qquad \Delta y = r\sin\theta, \qquad r=\sqrt{(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}.
Para qualquer direção \theta tal que \cos\theta\sin\theta\neq 0 (por exemplo \theta=\pi/4, que corresponde a \Delta y=\Delta x), o fator \big(\cos\theta\sin\theta\big)^{1/3} é um número fixo não nulo, então o comportamento quando r\to 0^{+} é governado por r^{-1/3}\to +\infty. Logo a razão diverge em módulo para +\infty ao longo dessas direções.
Conclusão do passo: a razão não tende para 0 quando (\Delta x,\Delta y)\to(0,0). Na verdade, ao longo algumas trajetórias (como \Delta y=\Delta x) o módulo da razão cresce sem limite; ao longo outras trajetórias (os eixos) a razão é 0. Portanto o limite não existe e não é 0.
Passo 5
Interpretação do resultado (item (d)) e comentários didáticos.
Definição usada: f é diferenciável em (0,0) se existe um mapa linear L:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R} tal que
Quando as derivadas parciais existem, o candidato natural a L é a forma linear dada por L(\Delta x,\Delta y)=f_{x}(0,0)\Delta x+f_{y}(0,0)\Delta y. No nosso caso já calculamos f_{x}(0,0)=f_{y}(0,0)=0, então o candidato é L\equiv 0, e o critério de diferenciabilidade reduz-se exatamente ao limite que investigamos nos passos anteriores.
O resultado mostrou que esse limite não é 0 (nem existe; é até divergente ao longo de certas direções). Logo f não é diferenciável em (0,0), apesar de ter derivadas parciais iguais a zero ali. Esse é um exemplo clássico que ilustra uma lição importante: existência das derivadas parciais em um ponto não garante diferenciabilidade nesse ponto. Diferenciabilidade exige que o erro entre f e a aproximação linear (a partir das parciais) seja muito menor que a norma do vetor (\Delta x,\Delta y) — precisamente, que seja o(\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}). No nosso caso o erro é f(\Delta x,\Delta y)= (\Delta x\,\Delta y)^{1/3}, que para direções gerais decresce mais devagar do que a norma (na verdade dá uma razão que cresce como r^{-1/3}), por isso a aproximação linear falha.
Exemplo comparativo rápido e útil para memorização: a função g(x,y)=xy tem g_x(0,0)=g_y(0,0)=0 e é diferenciável em (0,0). A razão correspondente é
\frac{xy}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}},
e usando a desigualdade 2|xy|\le x^{2}+y^{2} obtemos |xy|/\sqrt{x^{2}+y^{2}}\le \tfrac{1}{2}\sqrt{x^{2}+y^{2}}\to 0. Para g o erro é da ordem r^{2} ou r (dependendo da forma de medir), aqui decai rápido o suficiente; para f(x,y)=x^{1/3}y^{1/3} o erro decai mais lentamente e causa a não diferenciabilidade.
Um último comentário motivacional: é normal sentir surpresa quando as parciais existem mas a função não é diferenciável. A intuição geométrica é que, olhando apenas nas direções dos eixos, a função parece “plana” (derivadas zero), mas em direções oblíquas ela varia de forma suficientemente forte para impedir uma aproximação linear válida em todas as direções ao mesmo tempo.
(c) Não. O limite não é 0 (nem existe): por exemplo ao longo de \Delta y=\Delta x=t a expressão tem módulo \frac{|t|^{-1/3}}{\sqrt{2}}\to+\infty quando t\to 0.
(d) Interpretação: apesar de as derivadas parciais em (0,0) existirem e serem 0, a função não é diferenciável em (0,0). Isso mostra que existência das derivadas parciais não implica diferenciabilidade — é preciso que o erro dividido pela norma do incremento tenda a zero em todas as direções, o que aqui não acontece.