Considere a superficie
X(x, y)=(x, y, f(x, y)),
que descreve o gráfico de uma função diferenciável f(x, y). Obtenha K(x, y) e H(x, y).

Passo 1

O enunciado dá a parametrização
X(x,y) = (x,\,y,\,f(x,y))
do gráfico de uma função diferenciável f. Queremos encontrar a curvatura gaussiana K(x,y) e a curvatura média H(x,y). Vamos usar os coeficientes das primeiras e segundas formas fundamentais.

Passo 2

Calculamos os vetores tangentes e as derivadas parciais
X_x = \bigl(1,\,0,\,f_x\bigr), \quad X_y = \bigl(0,\,1,\,f_y\bigr),
onde \displaystyle f_x = \frac{\partial f}{\partial x} e \displaystyle f_y = \frac{\partial f}{\partial y}.

Passo 3

Os coeficientes da primeira forma fundamental são
E = \langle X_x, X_x\rangle = 1 + (f_x)^2
F = \langle X_x, X_y\rangle = f_x\,f_y
G = \langle X_y, X_y\rangle = 1 + (f_y)^2

Passo 4

Para a normal unitária calculamos o produto vetorial e normalizamos. Primeiro
X_x \times X_y = (-f_x,\,-f_y,\,1).
A norma é \sqrt{1 + (f_x)^2 + (f_y)^2}. Logo
N = \frac{1}{\sqrt{1 + (f_x)^2 + (f_y)^2}}\;(-f_x,\,-f_y,\,1).

Passo 5

As derivadas segundas de X são
X_{xx} = (0,\,0,\,f_{xx}),\quad X_{xy} = (0,\,0,\,f_{xy}),\quad X_{yy} = (0,\,0,\,f_{yy}).
Os coeficientes da segunda forma fundamental são
e = \langle X_{xx}, N\rangle = \frac{f_{xx}}{\sqrt{1 + (f_x)^2 + (f_y)^2}}
f = \langle X_{xy}, N\rangle = \frac{f_{xy}}{\sqrt{1 + (f_x)^2 + (f_y)^2}}
g = \langle X_{yy}, N\rangle = \frac{f_{yy}}{\sqrt{1 + (f_x)^2 + (f_y)^2}}

Passo 6

Usamos as fórmulas
K = \frac{e\,g - f^2}{E\,G - F^2}
e
H = \frac{E\,g + G\,e - 2\,F\,f}{2\,(E\,G - F^2)}.
Substituindo tudo e lembrando que E\,G - F^2 = 1 + (f_x)^2 + (f_y)^2, obtemos
K = \frac{f_{xx}\,f_{yy} - (f_{xy})^2}{\bigl(1 + (f_x)^2 + (f_y)^2\bigr)^2}
H = \frac{(1 + (f_y)^2)\,f_{xx} \;-\; 2\,f_x\,f_y\,f_{xy} \;+\;(1 + (f_x)^2)\,f_{yy}}{2\,\bigl(1 + (f_x)^2 + (f_y)^2\bigr)^{3/2}}

Resposta

K(x,y) = \frac{f_{xx}\,f_{yy} - (f_{xy})^2}{\bigl(1 + (f_x)^2 + (f_y)^2\bigr)^2}, \quad H(x,y) = \frac{(1 + (f_y)^2)\,f_{xx} - 2\,f_x\,f_y\,f_{xy} + (1 + (f_x)^2)\,f_{yy}}{2\,\bigl(1 + (f_x)^2 + (f_y)^2\bigr)^{3/2}}.

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