Considere a superficie
que descreve o gráfico de uma função diferenciável
. Obtenha
e
.
Passo 1
O enunciado dá a parametrização
do gráfico de uma função diferenciável
. Queremos encontrar a curvatura gaussiana
e a curvatura média
. Vamos usar os coeficientes das primeiras e segundas formas fundamentais.
Passo 2
Calculamos os vetores tangentes e as derivadas parciais
onde
e
.
Passo 3
Os coeficientes da primeira forma fundamental são
Passo 4
Para a normal unitária calculamos o produto vetorial e normalizamos. Primeiro
A norma é
. Logo
Passo 5
As derivadas segundas de
são
Os coeficientes da segunda forma fundamental são
Passo 6
Usamos as fórmulas
e
Substituindo tudo e lembrando que
, obtemos